Големина на текста:
НЯКОИ ИДЕИ ОТНОСНО ГРАФИЧНОТО РЕШАВАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ
УРАВНЕНИЯ С КОМПЮТЪР
Тук се предлагат идеи, свързани с графичното решаване на ирационални уравнения,
приложими по-скоро при извънкласна работа в горния курс. Тук са използвани някои методи
от математическия анализ за прогнозиране поведението на ирационални изрази, с цел
разработване методи за графично решаване на възможно по-много видове уравнения. Тази
прогнозируемост е ключов момент, защото трябва да може да се даде еднозначен отговор
дали дадено уравнение има или не решения, освен видимите на екрана. А така учениците ще
могат и да почувстват по-ясно реалното значение и приложение на анализа при
решаването на възникнал проблем. Слабост на обучението би било, според мен, ако се
намират асимптоти и интервали на вдлъбнатост и изпъкналост, без да се виждат
приложенията им. В [2] авторите дават технология за аналитично решаване на ирационални
уравнения с програмата Maple и верификация с графично решаване, но без прогнозиране на
ирационалните изрази във всеки един случай.
1.
46425
2
= xxx
.
Фиг. 1:
46425
2
= xxx
Фиг. 2:
()
464
2
=xxxg
Решение: Графиката на функцията
25–=xy
е права линия (Фиг. 1), а тази на
()
464
2
=xxxg
можем да разгледаме при намален мащаб, с включен по-голям участък
от нея на екрана (Фиг. 2).
Наблюдението показва, че в приближение графиката се състои от два лъча. Как да
изследваме и обясним на учениците тази “линейност”?
2
4 6 4у хх
=––
е уравнение на
“горната” част от клоните на хиперболата
<=>=–
?
?
?
?
?
?
–<=>––=
4
25
4
3
4464
2
2
22
yxxxy
1
2
5
4
5
4
3
2
2
2
2
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
<=>
y
x
с център
?
?
?
?
?
?
0,
4
3
C
и полуоси
4
5
и
2
5
. Също така
( )
x
x
x
xxx 2lim
46
4lim464lim
2
2
=––=–
при
±?->x
, т.е.
xy2=
е асимптота на
2
4 6 4у хх=
. На Фиг. 1 левият клон на
2
4 6 4у хх=
е в друг квадрант спрямо
25–=xy
, а десният се отдалечава устойчиво от правата с нарастване на х, т.к.
2
4 6 4у хх=
е вдлъбната функция.
Ако се получи обща точка на две графики, за максимална точност я придвижваме в
центъра на екрана и даваме максимален zoom.
Обобщение: Функцията
cbxxay ++=
22
има асимптоти
xay=
при
±?->x
, което
улеснява прогнозирането на поведението на графиката й. Функция от вида
)(
22
xfxay
k
+=
има (обобщена) асимптота
k
xay=
при
±?->x
, където
()
xf
е многочлен от степен
knn2,1<>=
. Можем да продължим обобщението с функции от вида
n
nkn
xfxay)(+=
с
асимптота
k
xay=
при четно п, а при нечетно -
k
axy=
, където
()
xf
е многочлен от степен
nkm
<
. Това дава възможност за прогнозиране и решаване на уравнения от вида
()
n
nknl
xfxaxgbx )(+=+
, където
()
xg
е многочлен от степен
lss <>= ,1
. Пример:
1372
423
+–=+–xxxx
.
Фиг. 3 и 4: Графика на
1372
423
+–=+–xxxx
, гледана „отблизо” и „отдалеч”
Решение:
24
13xxx?+
при
±?->x
, а
323
272xxx ?+
. Графиката на
3
2x
е по-
стръмна от тази на
2
x
и втора обща точка, освен тази на левия чертеж, графиките нямат.
Така може, без особени усилия, да бъде разширено понятието асимптотично
поведение на функция. Това би било полезно да се види и от самите студенти за учители, и
от техни бъдещи изявени ученици. Разгледаната тук тема е надграждане над предишните, и
затова е подходяща не толкова за дисциплини като УКА и МОМ, а за изборни дисциплини,
съсредоточени върху извънкласна работа с по-силни ученици.
Функцията
dcxbaxy +±+=
има асимптота
axy=
при
?->x
и
0>c
. Можем да
усложним функцията на
()
cbxxfaxy
k
+=
. Тя има асимптота
k
axy=
при
?->x
и
0>b
, ако
()
xf
е многочлен от степен
knn<>= ,1
. Функция от вида
()()
n
mk
xqpxxbaxy+±+=
има асимптота
k
axy=
при
?->x
и
0>p
. Тук
()
xb
е
многочлен от степен
knn<>= ,1
,
()
xq
- от степен
mss <>= ,1
, а
k
n
m
<
. Пример:
011
33
=–+–+–xxxx
.
Фиг. 5 и 6: Функцията
11
33
–+–+–xxxx
сама и заедно с
3
xy=
Освен х = 1, друго решение тук явно няма. При това се вижда, че практически
асимптотата в някои случаи илюстрира добре някои свойства на първоначалната функция не
някъде в безкрайността, а дори при не толкова големи стойности на х. Доколко точно обаче
тя я приближава по стойност при малки х? Изглежда – много точно, защото двете графики
на Фиг. 6 почти се сливат, но всъщност това е подвеждащо и следва да му се обърне
специално внимание. Ако извадим
11
33
–+–+–
xxxx
от
3
x
, се получава
11
3
–++xxx
. Абсолютната разлика между двете функции се увеличава с нарастване на х
и дори става безкрайно голяма, но относителната разлика става пренебрежимо малка.
Студентите може да се помъчат да дадат обяснение защо тогава графиките почти се
“слепват”.
Ограничените функции са асимптотично подобни на константи. Затова функцията
()()()()()()
n
mk
xtxrxqpxxdxcxbaxy
++±++=
..
, където
()
xc
,
()
xd
,
()
xr
и
()
xt
са ограничени
функции, има асимптота
k
axy
=
при
?->x
и
0>p
. Например
( )
( )
( ) ( )
( )
5
468223
3.53cos2sin.44
+––++++–+=
xarctgxxxxxxxxy
.
Както се вижда, откриват се огромни възможности за решаване на разнообразни
ирационални уравнения. Понякога се явяват практически трудности при работа с графиките,
но тук няма да се спираме на тях. Така или иначе, открива се поле за изследване и трупане на
опит за ученици и студенти за учители.
2.
x
xx
5
522 =++
- сложен радикал.
Фиг. 7: Графично представяне на уравнението
x
xx
5
522 =++
.
Функцията
2 2 5у x x= + +
е строго монотонно растяща, което може да се установи с
логически разсъждения и без производни. Решението на Фиг. 7 е единствено, т.к. функцията

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Някои идеи относно графичното решаване на ирационални уравнения с компютър

Тук се предлагат идеи, свързани с графичното решаване на ирационални уравнения, приложими по-скоро при извънкласна работа в горния курс...
Изпратен от:
Husein Ivanov
на 2013-04-18
Добавен в:
Уроци
по Математика
Статистика:
8 сваляния
виж още
Материалът се намира в следните категории:
Уроци по Математика за Ученици рядко сваляни с 5 страници от до преди 30 дни Други от Ученици
 
Домашни по темата на материала
Моля за помощ за задача по математика!!!! Спешно
добавена от radoslava.1997 07.05.2014
0
3
задача по математика!!!плс спешно е!!!!
добавена от lyubomira.dimitrova_fb 08.02.2014
0
12
уравненията: (ax+b)(cx+d)=0 (Упражнение) Моляви помогнете ми. Мерси мноого!!! :)
добавена от maria.nikolowa.92 15.12.2013
0
8
Моля за помощ по математика за 10 клас - функции и графики
добавена от li.val 18.10.2018
1
6
Ирационални уравнения
добавена от deqnepi4 17.06.2017
1
4
Подобни материали
 

Ирационални изрази,уравнения и неравенства

05 дек 2011
·
197
·
55
·
3,918
·
599

Изучаването на ирационални числа, ирационални изрази и свързаните с тях уравнения и неравенства са важна част от обучението по математика в средните училища, при извънкласна работа по математика, а също така и при подготовка на учениците за...
 

Преобразуване на ирационални изрази

06 яну 2011
·
75
·
14
·
260

Обобщаване и затвърждаване на свойствата на корен n-ти ; обобщаване и систематизиране на знанията за използването на свойствата на корен n-ти при преобразуването на ирационални изрази...
 

Квадратни уравнения, ирационални неравенства/равенства модулни равенства/неравенства показателни уравенения тригонометрични уравнения, неравенства, функции, редици

16 мар 2008
·
809
·
16
·
3,102
·
1,242
·
2

Квадратното уравнение има вида: ax2 + bx + c = 0 (1). В зависимост от коефициента a можем да имаме следните случаи:...
 

Определени интеграли

01 юли 2007
·
1,197
·
10
·
165
·
925

1.Дефиниция на определен интеграл 2.Основни Формули, Включващи Определни Интеграли 3.Правило на Лайбниц за Диференциране на Интеграли 4.Приблизителни Формули за Определени Интеграли и др.
 

ВСУ изпит по математика 2007

11 фев 2008
·
779
·
563
·
437
·
1
·

Изпит по математика 2007 в висше строителен университет УАСГ.
1 2 3 4 5 »
 
Онлайн тестове по Математика
Ръбести и валчести тела - тест
изпитен тест по Математика за Ученици от 6 клас
Тест по математика за ученици от 6-ти клас, съдържа 10 въпроса, всеки от които има само един верен отговор.
(Труден)
10
68
1
1 мин
28.05.2015
Тест по математика за 9-ти клас - входно ниво
входен тест по Математика за Ученици от 9 клас
Тестът съдържа 10 задачи със затворен отговор. Само един от посочените отговори е верен. Служи за изходно ниво от 8-ми и входно ниво за 9-ти клас.
(Лесен)
10
130
1
07.10.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Някои идеи относно графичното решаване на ирационални уравнения с компютър

Материал № 987364, от 18 апр 2013
Свален: 8 пъти
Прегледан: 20 пъти
Предмет: Математика
Тип: Урок
Брой страници: 5
Брой думи: 1,295
Брой символи: 8,365

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Някои идеи относно графичното решаване на ираци ..."?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Евелина Владимирова
преподава по Математика
в град София
с опит от  2 години
2

Стоянка Колева
преподава по Математика
в град Сливен
с опит от  1 години
2

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения