Големина на текста:
С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е
I.Теоретична част..............................................................................................................2
1.Сравнения от втора степен........................................................................................2
2.Закон на Гаус за реципрочност на квадратичните остатъци.................................7
3.Представяне на числата като сума на два квадрата.............................................13
4.Представяне на числата като сума от четири квадрата........................................17
5. Най-малък възможен брой квадрати при представяне на числа, като сума
от квадрати................................................................................................................... ..20
II.Задание.........................................................................................................................21
III.Решение на поставените задачи...............................................................................22
1. Решение на първа задача от заданието................................................................ 22
2.Решение на втора задача от заданието...................................................................23
3.Решение на трета задача от заданието....................................................................23
4.Решение на четвърта задача от заданието.............................................................24
IV.Литература..................................................................................................................25
…………………………………., фак.N#.................., Квалификация: Учител по математика 2
I. Теоретична част
1.Сравнения от втора степен
Ще разгледаме сравнения от вида
(1)ax
2
+bx+c
?
0(mod p)
Където модулът p е нечетно просто число и a не се дели на p. Такива сравнения се наричат
сравнения от втора степен пр прост модул. Наричат се още квадратични уравнения. С помоща
на еквивалентни преобразувания ще докажем, че сравнението (1) може да се сведе до
сравнение от вида
(2)x
2
?
a(mod p)
За тази цел ще вземем под внимание, че а не се дели на р, т.е. (а,р)=1 и следователно
съществува числото а
1
, така че
(3) aa
1
?
1(mod p)
Умножаваме (1) с а
1
и вземаме впредвид (3), получаваме че
(4)x
2
+ba
1
x+ca
1
?
0(mod p)
Понеже р е нечетно , то от числата ba
1
и ba
1
+p точно едно е четно. Понеже тези числа са
сравними по модул р, то в (4) за коефициент пред x може да поставим кое и да е от тях. Да
поставим това от тях, което е четно и да го означим с 2k . Тогава (4) добива вида:
x
2
+2kx+ca
1
?
0(mod p)
Прибавяме k
2
към двете страни на това сравнение и прехварляме ca
1
от другата страна с
обратен знак. Така получаваме
(5)(x+k)
2
?
k
2
-ca
1
(mod p)
…………………………………., фак.N#.................., Квалификация: Учител по математика 3
Въвеждаме ново неизвестно с помоща на субстуцията y=x+k и означаваме D=k
2
-ca
1
.
Тогава (5) добива вида
(6)y
2
?
D(mod p),
което е от вида (2). Числото D се нарича дискриминанта на квадратното сравнение (1).
От направените сравнения се вижда, че достатъчно е да се ограничим на сравнения от
вида (2). Важно е да определим кога това сравнение има решение.Ако a се дели на p, то (2) има
дукратен корен x
?
0(mod p) и това са всичките негови решения. По нататък ще преполагаме,
че а не се дели на р. От теоремата на Лагранж следва че сравнението (2) или няма решение ,
или има точно две различни решения x
?
x
0
(mod p) и x
?
-x
0
(mod p). Ако (2) име решение,
числото а се нарича квадратичен остатък по модул р, а когато няма решение – квадратичен
неостатък по модул р.
За да определи когата сравнението (2) има решение, ще въведем един символ на
Лежандър. Символът на Лежандър се означава с
p
a
и се дефинира по следния начин :
(7)
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
р модул по остатък ченнеквадрати е а ,1
р модул по остатък кадратичен е а ,1
ако
ако
p
a
От тази дефиниция се вижда, че символът на Лежандър е функция на аргументите а и р,
която приема само две стойности , които са 1 и -1.
Ще изведем някои основни свойства на символа на Лежандър.
Лема 1. В сила е
1
2
=
?
?
?
?
?
?
?
?
p
a
Доказателството следва веднага от дефиницията на символа на Лежандър, тъй като
сравнението x
2
?
a
2
(mod p) има решение x
±?
a(mod p) и следователно а
2
е квадратичен остатък
по модул р.
Друго свойство на символа на Лежандър е дадено от Ойлер.
Лема 2.Критерий на Ойлер. В сила е
(8)
1
2
(mod)
p
a
ap
p
??
?
??
??
…………………………………., фак.N#.................., Квалификация: Учител по математика 4

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.
Последно свалили материала:
ДАТА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ПОТРЕБИТЕЛЯ
23 сеп 2019 в 09:48 ученичка на 24 години от Костенец - СОУ "Св. Климент Охридски", випуск 2014
20 яну 2019 в 15:50 ученик на 31 години от Банско - ПЛТГ "Никола Й. Вапцаров"
01 яну 2019 в 17:04 потребител
25 ное 2018 в 11:37 студент на 26 години от Благоевград - Югозападен университет "Неофит Рилски", факулетет - Природо-математически, специалност - Компютърни системи и технологии, випуск 2017
25 ное 2016 в 21:12 ученичка на 56 години от Ямбол - МГ "Атанас Радев", випуск 1985
03 дек 2015 в 14:10 в момента не учи на 29 години от Сливен
03 ное 2015 в 22:42 студентка на 30 години от Пловдив - ПУ "Паисий Хилендарски", факулетет - Факултет по математика и информатика, специалност - Математика, випуск 2016
02 ное 2015 в 21:10 студент на 37 години от Пловдив - ПУ "Паисий Хилендарски", факулетет - Факултет по математика и информатика, специалност - Математика, випуск 2017
 
Домашни по темата на материала
Сравнение от първа степен с едно неизвестно
добавена от deyna.yordanova_fb 19.01.2020
0
3
 

Курсова работа по теория на числата

Материал № 980659, от 03 апр 2013
Свален: 24 пъти
Прегледан: 73 пъти
Предмет: Алгебра и теория на числата, Математика
Тип: Курсова работа
Брой страници: 24
Брой думи: 761
Брой символи: 4,127

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Курсова работа по теория на числата"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Николай Ненков
преподава по Алгебра и теория на числата
в град София
с опит от  6 години
378 65

Антоанета Киселова
преподава по Алгебра и теория на числата
в град Варна
с опит от  12 години
204 31

виж още преподаватели...
Последно видяха материала