Нина Йорданова
преподава по Математика
в град Русе
Големина на текста:
1
Лекция 13
§13. Функции на много променливи. Формула на Тейлор
1. Топология на
n
R. Точка
()
n
xxx,,,
21
Kx в
n
-мерното евклидово
пространство
n
R наричаме вектора
()
n
xxx,,,
21
K=x , а числото
k
x,
nk,,2,1
K
=, е
неговата
k
-та координата. Чрез тези координати векторът се представя като линейна
комбинация
()()()
n
n
xxx eeex +++= L
2
2
1
1
в каноничния базис,
()
()
0,,0,1
1
Ke
,
()
()
0,,1,0
2
Ke
,
...,
()
()
1,,0,0
K
n
e
. Свойствата на векторите и линейните операции в
n
R
са познати от
курса по линейна алгебра. Линейните операции събиране и умножение се извършават
почленно. Ако
()
n
xxx
,,,
21
Kx
и
()
n
yyy
,,,
21
Ky
, са два вектора от
n
R
, то
()
nn
yxyxyx +++=+
,,,
2211
Kyx
и
()
n
xxx???=?
,,,
21
Kx
,
R??
.
Разстоянието
между двете точки
x
и
y
се определя по формулата
() ( )()()
22
22
2
11
,
nn
yxyxyx++–+–=?Lyx
.
В случая, когато
1=n
се получава права (числова ос), в случая
2=n
имаме
геометрична равнина, при
3=n
геометрично пространство. За по-големи стойности
на
n
,
n
R
няма естествена геометрична интерпретация. Геометрията в
n
R
се определя
от наличието на (канонично)
скаларно произведение
nn
yxyxyx +++= L
2211
,yx
.
Скаларното произведение има следните основни свойства:
1
)
0,>=xx
, и ако
0,=xx
, то
0x
=
, където
()
0,,0,0K=0
е нулевият вектор на
n
R
;
2
)
xyyx,,=
-- симетричност;
3
)
()()() () () ( )
yxyxyxyxxx,,,,
2
2
1
1
2
2
1
1
m
m
m
m
??????
+++=+++ LL -- линейност.
От симетричността следва, че скаларното произведение е линейно и по втория
аргумент. Ако разглеждаме векторите като стълбове, то скаларното произведение може
да се запише чрез транспониране на втория множител като
xyyx
T
=,
, а умножението
е по известното правило "ред по стълб".
Дължината на вектора
x
(модул на вектора
x
), по аналогия с геометричните
пространства
2
R
и
3
R
, се определя по формулата
22
2
2
1
,
n
xxx
+++==L
xxx
,
което се нарича
норма на вектора
x
, породена от скаларното произведение
.
Твърдение 13.1
(неравенство на Коши).
За всеки два вектора
n
R
?
yx
, е
изпълнено
(13.1)
yxyx
<=,,
при което ако има равенство, то векторите
x
и
y
са линейно зависими.
Доказателство.
Неравенството може да бъде записано по следния начин
22
2
2
1
22
2
2
12211nnnn
yyyxxxyxyxyx ++++++<=+++ LLL
.
Да разгледаме квадратната функция
()()()()
2
2
2
22
22
2
11
,2
yyxx
tttyxtyxtyxt
nn
++=++++++=L .
Тя е неотрицателна за всяко
R?t
, следователно за нейната нейната дискриминанта
имаме
[ ]
0,4
222
<=–= yxyxD,
2
откъдето неравенството на Коши следва непосредствено. Ако
()
0>t
, за всяко
R?t
,
то неравенството за дискриминантата е строго и следователно неравенството (13.1)
също е строго, следователно, ако в (13.1) има равенство, то
()
0
0
=t
, за някое
0
t, което
означава, че 0yx=+
0
t. ?
С помощта на неравенството на Коши можем да докажем
Твърдение 13.2
(неравенство на Минковски).
За всеки два вектора
n
R
?yx, е
изпълнено
(13.2)
yxyx
+<=+
,
при което ако има равенство, то векторите x и y са линейно зависими.
Доказателство. Имаме
222
,2,yyxxyxyxyx ++=++=+ ,
откъдето според неравенството на Коши имаме
( )
222222
2,2 yxyyxxyyxxyx +=++<=++<=+
,
което доказва (13.2). ?
Нека
n
R
?zyx,, са произволни. Тогава
() ()() ( ) ( )
yzzxyzzxyzzxyxyx ,,, ?+?=–+–<=–+–=–=?
,
т.е. получихме неравенството на триъгълника за разстоянието между две точки
(13.3)
()()()
yzzxyx
,,, ?+?<=?
.
Определение 13.1 Едно множество
M
се нарича
метрично пространство
,
когато между всеки два негови елемента
Myx
?,, е определена функцията
()
yx
,?
със
следните три свойства:
1)
()
0,=?
xx
, за всяко
Mx?
, и ако
( )
0,=?
yx
за някои
Myx
?,, то
yx =
;
2)
()()
xyyx
,, ?=?
, за всеки
Myx ?,
(симетричност);
3)
()()()
yzzxyx
,,, ?+?<=?
, за всеки
Mzyx?
,, (неравенство на триъгълника).
Сега лесно се вижда, че
n
R
е метрично пространство с метрика, породена от
нормата, понеже
()
yxyx
=? ,
. Свойствата 1) и 2) са очевидни, а 3) следва от (13.3).
Поради наличието на норма
xxx,
=
казваме, че
пространството
n
R е
нормирано
. Нормата има следните характеризиращи основни свойства.
1)
0
>=
x
и
0
=
x
тогава и само тогава, когато
0x
=
.
2)
xx
?=?
, за всеки скалар
R
??
.
3)
yxyx
+<=+
, за всеки два вектора
n
R
?
yx,.
Определение Нека
n
R
?
x . Множеството
()
?
,x
B
от всички точки
n
R
?
y , за
които
()
??
<
yx,
се нарича
отворено кълбо
с център x и радиус
0
>
?
. Множеството
()
?
,
x
B
от всички точки
n
R
?
y
, за които
()
??
<=
yx,
се нарича
затворено кълбо
с
център
x
и радиус
0
>=
?
.
()
?
,x
B
се нарича още
?
-околност на
n
R
?
x
. По този начин имаме
() ( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<–?=?
?
=
n
k
kk
yxB
1
2
:,
n
R
yx
.
Когато
1=n
,
()
?
,
xB
е отворен интервал с център
x
и радиус
?
(Рис. 13.1)
3
Рис. 13.1
Когато
2
=
n
,
()
?
,x
B
е кръг с център
()
21
,
xx
x
и радиус
?
(Рис. 13.2)
Рис. 13.2
Основните определения и свойства на редиците в
n
R
са аналогични на тези,
свързани с числови редици.
Ако на всяко естествено число
N?m
е съпоставена точка
()
n
R
?
m
x
, то казваме,
че е зададена
редица
от точки в
n
R
. Редиците ще бележим с
()
{}
?
=1m
m
x
или просто с
()
{}
m
x
. Ако е дадена редицата
( )
{}
m
x
и някаква растяща редица от естествени числа
LL
<<<<
?
mmm
21
, то можем да образуваме
подредицата
( )
{}
?
m
x
.
Определение 13.3.
Точката
n
R
?
x
се нарича граница на редицата
()
{}
m
x
и се
пише
()
xx
=
?->
m
m
lim
,
когато
()
( )
0,lim
=
?->
xx
m
m
?
.
Ако
()
xx
=
?->
m
m
lim
, то се казва, че редицата
( )
{}
m
x
е сходяща и клони към границата
x
.
От горното определение означава, че
( )
xx
=
?->
m
m
lim
тогава и само тогава, когато за
всяко
0
>
?
може да се намери естествено число
0
m
, такова, че
()
( )
()
??
<–=
xxxx
mm
,,
винаги когато
0
mm >
. При
1=n
дадените определения напълно се покриват с
известните определения за сходящи числови редици. При
2=n
сходимостта означава,
че за всеки кръг с център
()
21
,
xx
x
и радиус
0
>
?
, от известно място нататък (зависещо
от
?
) всички членове на редицата се съдържат в този кръг (Рис. 13.3)
Рис. 13.3

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Функции на много променливи. Формула на Тейлор

Топология на r. точка x(x,x,k,x) в n-мерното евклидово 12nnпространство r наричаме вектора x=(x,x,k,x), а числото x, k=1,2,k,n, е 12nkнеговата k-та координата. Чрез тези координати векторът се представя като линейна...
Изпратен от:
Буи Ван Тханх
на 2011-09-29
Добавен в:
Лекции
по Математика
Статистика:
30 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Matlab задача Намерете минимумите на следната функция
добавена от ivan.iiordanov_fb 18.05.2019
0
6
помош за утре е 8 клас
добавена от andrea.semova 21.04.2015
0
13
Градиент и локални екстремуми
добавена от Inna_dimitrovaa 19.12.2018
1
8
спешно трябва ми за утре!!!!!!!!!!!!!!!!
добавена от vasil.georgiev_9769 14.01.2018
2
6
 
Онлайн тестове по Математика
Национално външно оценяване в ІV клас по математика
изходен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тест на Министерството на образованието и науката, даден за Национално външно оценяване в ІV клас по математика на 10 май 2019 г. Включени са само въпросите с избираем отговор. Всеки въпрос има само един верен отговор.
(Лесен)
16
6
2
6 мин
21.11.2019
Тест по математика за 7-ми клас (за края на първи срок)
междинен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тестът е подходящ за всички ученици от 7-ми клас, на които им предстои НВО. Съдържа 20 въпроси със задачи, които имат само един верен отговор.
Тестът е изготвен от:
Радка Кънчева преподавател
(Лесен)
20
32
1
8 мин
30.09.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Функции на много променливи. Формула на Тейлор

Материал № 724325, от 29 сеп 2011
Свален: 30 пъти
Прегледан: 92 пъти
Предмет: Математика
Тип: Лекция
Брой страници: 22
Брой думи: 511
Брой символи: 3,324

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Функции на много променливи. Формула на Тейлор"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Рада Стоянова Любенова-Янева
преподава по Математика
в град Пловдив
с опит от  17 години
28

Нина Йорданова
преподава по Математика
в град Русе
с опит от  3 години
37 3

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения