РАНГ НА МАТРИЦА
Детерминантата, образувано от общите елементи на произволно взети к реда и к
стълба на матрицата А, се нарича минор на к-ти ред на матрицата А.
От елементите на матрицата А може да се образуват минори от различни редове,
но най-високия ред на произволно взет минор не може да превиши по-малкото от
измеренията на матрицата. Например, всеки елемент на матрицата А може да се
разглежда като минор от първи ред, чрез общите елементи на двойни редове и стълбове
може да се образуват минори от втори ред и т.н. Вижда се, че стойностите на минорите
могат да бъдат равни или различни, нулеви или ненулеви.
Най-високият ред, на различен от нола минор на една матрица, се нарича ранг на
матрицата. Същият се означава с r (A).
Съгласно дадената дефиниция нулев ранг имат само нулевите матрици, тъй като
всяка нулева матрица притежава поне един елемент, различен от нула и следователно,
рангът й е поне единица.
СВОЙСТВА НА МАТРИЦИТЕ, ЗАПАЗВАЩИ РАНГА СИ
Използвайки дефиницията за ранг на матрица и свойствата на детерминантите, е
възможно да се изкажат следните свойства, имащи отношение към понятието ранг на
матрица:
1 свойство – Рангът на дадена матрица А и на транспнираната й са равни, т.е. r
(A)=r(A`)
2 свойство – Ако А В, то r (A) = r (B), т.е. елементарните преобразувания над
редовете на една матрица не променят ранга й.
3 свойство – След отстраняване на нулев ред /стълб/ от дадена матрица рангът й
не се променя.
Тези са най- използваните свойство при определянето на ранга на дадена
матрица. Матрицата, на която броят на нулевите елементи по даден ред до първия
срещнат нулев елемент се увеличава с увеличаване номера на реда, не нарича
стъпаловидна. В случая найименованието е свързано с възможността да се отдели с
вертикални и хоризонтални стъпаловидна част от матрицата, в която са разположени
само нулеви нейни елементи.
Теорема: Всяка матрица с помощта на краен брой елементарни преобразувания може
да се преобразува в стъпаловидна.
155
22
