Големина на текста:
Аксиоми на Пеано. Делимост и деление с остатък.
Спокойно можем да кажем, че естествените числа N = {1, 2, 3, . . .} съпътстват човечест-
вото от появяването му. Навярно разглеждането им като най-древната и основополагаща
математическа система е дало основание на Кроненер да заяви (говорейки за матема-
тиката), че Бог е създал естествените числа, а всичко останало е творение на Човека.
Естествените числа са възникнали и служат като показател за количеството предмети
в дадено множесто. Изказано с математически термини това означава, че естествени-
те числа представят (кардинални числа са на) различните класове равномощни крайни
множества.
Независимо, че аксиоматичния подход в математиката датира поне от Евклид, то
към формализиране на свойствата на естествените числа се пристъпва чак в 19 век, ко-
гато активно започва да се работи за поставяне на цялата математика на аксиоматични
основи. Най-популярна, използвана и днес, става аксиоматиката предложена от итали-
анския математик Дж. Пеано в негова книга излязла в 1889 г. Сходна аксиоматика е
предложил и Р. Дедекинд в 1888 г.
Аксиоматичното построяване на естествените числа е предмет на курсовете по ло-
гика и основи на математиката. Затова без да се стремим към прецизност само ще го
скицираме - по-скоро за да информираме читателя за съществуването на такава проб-
лематика, отколкото да я излагаме.
Аксиоматика на Пеано.Съществува поне една система (N, S, 1) състояща се от
множество N, функция S(съпоставяне на наследник), дефинирана и приемаща стой-
ности в N, и елемент отбелязван с 1, такива че
Аксиома 11 ? N.
Аксиома 2За всяко x ? N съществува еднозначно определен наследник S(x) ? N.
Аксиома 3S(x)6= 1, (т.е. 1 не е наследник на никой елемент).
Аксиома 4За всяко x, y ? N от S(x) = S(y) следва x = y.
Аксиома 5(Принцип на математическата индукция ) Ако едно подмножество M ? N
удовлетворява условията:
5
6
(i) 1 ? M
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА
(ii) от x ? Mследва S(x) ? Mза всяко x с това свойство, то M ? N.
Непосредствено от аксиомите следва, че заx? Nе в сила или x= 1 или съществува
единствено y ? N, такова че S(y) = x.
Така зададена системата на Пеано е еднозначно определена, в смисъл, че всеки две
системи (N, S, 1) и(N0, S0, 10) са изоморфни. (Както отбелязахме по-горе тук няма да
прецезираме това понятие.)
Показва се, че в N могат да се дефинират и то еднозначно бинарни операции съби-
ране, (x, y) -> x + y, и умножение, (x, y) -> x · y, така че за всяко x, y ? N да са изпълнени
свойствата:
P1. x + 1 = S(x).
P2. x + S(y) = S(x + y).
P3. x · 1 = x.
P4. x · S(y) = (x · y) + x.
Въведените бинарни операции са комутативни, асоциативни и е в сила дистрибутивния
закон.
Вместо 1 в аксиоматиката на Пеано може да се постави 0, т.е. да се построи направо
съвкупността на неотрицателните цели числа. Тогава P1 и P3 се заместват съответно с
равенствата x + 0 = x и x · 0 = 0.
Упражнение 1.1.1 Покажете, че в този случай, ако дефинираме 1 = S(0), то x + 1 =
S(x) и x · 1 = x.
В N се дефинира релация по-малко (по-голямо): <( >).
Дефиниция 1.1.1 Казваме, чеa < b, ако съществуваu?N,такова чеb= a + u.
Записваме този факт и катоb > a.Със знака a<=bще означаваме, че е изпълнено
a < b или a = b.
Твърдение 1.1.2Нека a, b, c ? N. В сила са:
1. За всеки a, b ? N е изпълнено точно едно от отношенията a < b, a = b или a > b.
2. отa < b и b < c следва a < c.
3. отa < b следва a + c < b + c за всяко ? N.
4. отa < b следва a · c < b · c за всяко ? N.
Дефиниция 1.1.3 Некаa > b. Единственото u?N,такова чеa= b + uнаричаме
разлика на a и b. Бележим с a – b.
Твърдение 1.1.4 Отношението <= е релация на наредба (т.е. 1) x<= x; 2) x<= yи
y <= x => x = y; 3) x <= y и y <= z => x <= z.), относно която N е линейно наредено.
1.1.Аксиоми на Пеано. Делимост и деление с остатък. 7
N се разширявя с добавяне на нула 0, така че a + 0 = a за всяко a ? N, и с добавяне
на отрицателните цели числа: в разширената съвкупност за всяко a?Nсъществува
еднозначно определен елемент –a, такъв че a + (–a) = 0.
Полученото множество се нарича пръстен на целите числа Z и притежава следните
свойства:
За всеки a, b, c ? Z е изпълнено
1.a + b = b + a,
2.(a + b) + c = a + (b + c),
3.a + 0 = a,
4.a + (–a) = 0,
5.ab = ba,
6.(ab)c = a(bc),
7.a(b + c) = ab + ac,
8.1 · a = a.
Множество с въведени в него две бинарни операции събиране, +, и умножение ·,
така че са изпълнени горните свойства се наричат комутативен пръстен с единица.
Целите числа притежават и следното свойство: от ab = 0 следва a = 0 или b = 0. Ако
това е изпълнено се казва, че пръстенът е без делители на нулата. Комутативен пръстен
с 1 и без делители на нулата се нарича област на цялост.
В сила е следната важна и много често използвана теорема:
Теорема 1.1.5Всяко непразно множество от естествени числа има най-малък еле-
мент.
Доказателство. Нека A ? N, A6= ?. Да допуснем, че в A няма най-малък
елемент и да разгледаме множеството
B = {x ? N | x < y,за всяко y ? A}.
Ако x ? A ? B, то x < x, което е невъзможно. Следователно A ? B = ?, т.е.
B ? A = N A.
Използвайки математическа индукция (Аксиома 5) ще докажем, че B? N.
Наистина1?B, защото в противния случай1би бил най-малък елемент
наA. Нека сега x ?B. Тогава за всякоy?Aе в силаx < y,откъдето
получавамеS(x) <=y.АкоS(x) ?A,тоS(x)ще бъде най-малък елемент,
което противоречи на допускането. СледователноS(x) < y за всяко y?A,
откъдето S(x) ? B. И така за всяко x ? B следва S(x) ? B. В такъв случай
принципът на математическата индукция ни дава B ? N. Но тогава A = ?.
Противоречието се дължи на неправилното ни допускане.

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА

Изказано с математически термини това означава, че естествени- те числа представят (кардинални числа са на) различните класове равномощни крайни множества....
Изпратен от:
Джон Ганев
на 2010-01-07
Добавен в:
Лекции
по Математика
Статистика:
44 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
делимост в множеството на целите числа
добавена от aksi_maksi 07.04.2014
2
5
Моля помогнете със задачата спешно е
добавена от sisii.marinova 04.10.2012
1
10
 
Онлайн тестове по Математика
Математика
изпитен тест по Математика за Студенти от 2 курс
Тест за студенти - магистри, ПНУП. Всички въпроси са с един верен отговор.
(Лесен)
29
9
1
9 мин
25.09.2019
Национално външно оценяване по математика за IV-ти клас
изпитен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тест от НВО за 2018 г. от Министерство на образованието и науката, даден на 14 май 2018 г. Всички въпроси имат само по един верен отговор.
(За отличници)
19
2
1
10 мин
08.07.2019
» виж всички онлайн тестове по математика

ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА

Материал № 429583, от 07 яну 2010
Свален: 44 пъти
Прегледан: 57 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Лекция
Брой страници: 5
Брой думи: 683
Брой символи: 6,486

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "ТЕОРИЯ НА ЧИСЛАТА"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Мира Александрова
преподава по Математика
в град София
с опит от  14 години
2

Рада Стоянова Любенова-Янева
преподава по Математика
в град Пловдив
с опит от  17 години
18

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения