Големина на текста:
ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В МАТЕМАТИЧЕСКИТЕ
ГИМНАЗИИ
(1988 – 1991)
1989 г., МГ.
Задача 1.
Да се реши:
а) уравнението
;)2()1)(1(110()12(
32
xxxxxxx
––+–=+––
б) неравенството
;
6
5
2
3
23
2
2
1
4
58
+<
?
?
?
?
?
?
––
+
x
xx
в) уравнението
axbx 222
=
, където a и b са параметри.
Да се намерят стойностите на а, за които уравнението има решение естествено число, ако b=7.
РЕШЕНИЕ
а) Решението на даденото уравнение намираме чрез следните еквивалентни преобразувания:
2
1
918
9188136156
612810144
)2()1)(1()110()12(
22
32322
32
=<=>=<=>
=–<=>–+=+––<=>
++––=––+–<=>
––+–=+––
xx
xxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
б)От даденото неравенство след разкриване на скобите и привеждане под общ знаменател
последователно получаваме:
4
1
414109
36
5
4
3
6
5
32
1
1
4
5
6
5
2
6
23
1
4
5
2
6
5
2
3
23
2
2
1
4
58
><=><–<=><–<=>
<–<=><–+<=>
+<
+–+<=>
+<
?
?
?
?
?
?
––
+
xxx
xx
x
x
x
x
xx
в) Прехвърляме членовете, които съдържат х, в лявата страна, а онези, които не съдържат х, в
дясната и получаваме
).1(2)12(
=–
bxa
За да решим това параметрично уравнение1 разглеждаме два случая:
1) Нека
012
=–
a
, т-е.
.
2
1
=
a
Тогава в зависимост от стойността на втория параметър b са
възможни два подслучая:
а) b=1, т.е. даденото уравнение има вида 0.х=0 и всяко число е негово решение;
б)
,1
!=
b
т.е. даденото уравнение има вида
),1(2.0
–=
bx
където
,0)1(2
!=–
b
защото
.1
!=
b
В този подслучай даденото уравнение няма решение.
2) Нека
,112
!=–
a
т.е.
.
2
1
!=
a
Тогава даденото уравнение има единствено решение
,
12
)1(2
=
a
b
x
от което при b=7 и
2
1
!=
a
се получава
12
12
=
a
x
. Числото
12
12
a
е естествено
число точно тогава, когато
12
a
е положителен делител на 12. Но когато а е цяло число, 2а-1 е
нечетно цяло число, а единствените нечетни делители на 12 са 1 и 3. Тогава от
112
=–
a
и
312
=–
a
намираме a=1 и а=.2. Следователно търсените цели стойности на параметъра
a
са 1 и
2.
1
1990 г., МГ
Задача 1
Да се реши:
а) Уравнението
23)13()23)(32(2)12(
223
=––+–
xxxxxx
;
б) неравенството
15
5,41
2
3
1
1
5
12
3
1
5
13
>
?
?
?
?
?
?
+
x
x
xx
;
в) уравнението
42
=
xax
, където а е параметър. Да се намерят стойностите на а, за които
корените на уравнението са цели отрицателни числа.
РЕШЕНИЕ
а) Като използваме формулите
32233
33)( babbaaba
+–=
и
222
2)(bababa
+–=
и теоремите за еквивалентни преобразования на уравнения, последователно получаваме:
23)169()6496(211.2.31.)2(3)2(
2223223
=+––+––+–+–
xxxxxxxxxx
23169128181216128
2223223
=–+–++–+–<=>
xxxxxxxxxx
006
=<=>=<=>
xx
.
Следователно решението на даденото уравнение е числото 0
б) Извършваме еквивалентни преобразувания и получаваме:
9.0
29551024618
)4,41(2)1(510)12(2)13(6
15
5,41
6
1
15
12
3
1
5
13
15
5,41
2
3
1
1
5
12
3
1
5
13
><=>
–>+–+–––<=>
––>––++––<=>
>
+
–+
<=>
>
?
?
?
?
?
?
+
x
xxxx
xxxx
xxxx
x
x
xx
От последното неравенство следва, че всяко число х е решение на даденото неравенство.
в) Записваме даденото уравнение във вида
42)1(
=––
xa
.
Като използваме определението за модула, получаваме:
?
?
?
?
?
=<=>–=––
=–<=>=–
<=>=––
2)1(42)1(
6)1(42)1(
42)1(
xaxa
или
xaxa
xa
Ако
01
!=–
a
, т.е.
01
!=–
a
, уравнението
6)1(
=–
xa
има решение
1
6
1
=
a
x
, а уравнението
2)1(
=–
xa
- съответно
1
2
2
=
a
x
.
Ако
01
=–
a
, т.е.
1
=
a
, получаваме уравненията
6.0
=
x
и
2.0
=
x
, които нямат решения.
Тъй като
21
3xx
=
, то или двете решения
1
x
и
2
x
са различни по знак, или
21
xx
=
=0.
Следователно не съществува стойност на параметъра
1
!=
a
, при която и двата корена на даденото
уравнение да са отрицателни числа, а при
1
=
a
уравнението няма решение.
1991 г., МГ
Задача 1
Даден е изразът:
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
––
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
2
1
2
1
3
1
2
1
13
2
12
)(
2
xxx
x
xA
Да се реши:
2
а) уравнението
12)(
+–=
xxA
;
б.) неравенството
xxA25)(
–<
;
в) уравнението
axA
–=
11)(
, където а е параметър.
РЕШЕНШИ
а) Най-напред опростяваме израза А(х);
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
––
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
2
1
2
1
3
1
2
1
13
2
12
)(
2
xxx
x
xA
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
––
?
?
?
?
?
?
–=
2
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
2
xxxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+–––
?
?
?
?
?
?
=
2
1
1
2
1
2
1
xxx
()
122
2
1
2
1
1
2
1
2
1
+–=–
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
––––
?
?
?
?
?
?
=
xxxxx
.
След решаването на уравнението
1212
+–=+
xx
или 0.х=0. Това уравнение се
удовлетворява на всяко х, следователно всяко число е негово решение.
б) Тъй като
12)(
+–=
xxA
, то неравенството
xxA25)(
–<
е равносилно (еквивалентно) на
неравенството
xx 2512
–<+
, т.е.
xx 2512
–<+
.Последното неравенство, а следователно и
даденото, е удовлетворено за всяко число х.
в) От
12)(
+–=
xxA
даденото параметрично уравнение приема вида
ax
=–+
1112
или
ax
–=–
12
.Това уравнение има смисъл да се разглежда само при
ax
–=–
12
, т.е. при
1
<=
a
.
За тези стойности на параметъра а уравнението
ax
–=
12
е еквивалентно на следните две
уравнения
ax
–=
12
и
)1(2 ax
––=–
, откъдето намираме
2
1
1
=
a
x
и
2
1
2
a
x
=
.
ЗАДАЧИ, ДАВАНИ НА КОНКУРСЕН ИЗПИТ ЗА ПРИЕМ В ЕЗИКОВИТЕ ГИМНАЗИИ
(1988 – 1991)
---
1989 г., ЕГ
Задача 1
а) Да се реши уравнението
( ) ()()()
1412212132
3
22
+=–++
xxxxxx
.
б) Да се реши неравенството
?
?
?
?
?
?
––<
+
8
203
1
3
1
4
3
3
x
x
xx
.
в) Да се намери за кои стойности на параметъра а уравненията
0232
2
=––+–
xxx
и
axxa
–=
13
са равносилни (еквивалентни), ако
2
<
x
.
РЕШЕНИЕ
а) След еквивалентни преобразувания получаваме
( ) ()()()
1412212132
3
22
+=–++
xxxxxx
1414449124
3232
++–=+–++<=>
xxxxxxx
5
3
915
=<=>–=<=>
xx
.
б) Решенията на неравенствата намираме чрез еквивалентни преобразувания
?
?
?
?
?
?
––<
+
8
203
1
3
1
4
3
3
x
x
xx
24
203
3
1
4
3
3
x
x
xx
+–<
+
<=>
xxxx2038241868
–+–<–<=>
3

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.
Последно свалили материала:
ДАТА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ПОТРЕБИТЕЛЯ
17 яну 2021 в 10:01 потребител
26 дек 2020 в 21:05 ученичка на 27 години от Благоевград - Седмо СОУ, випуск 2012
21 дек 2020 в 10:20 ученичка на 54 години от Варна - ВМГ "Св. Н. Чудотворец", випуск 2010
07 дек 2020 в 13:53 студент на 32 години от Стара Загора - Тракийски университет, факулетет - Педагогически факултет, специалност - Социална педагогика, випуск 2021
25 юни 2020 в 12:25 студентка
05 юни 2020 в 19:49 учител на 50 години от София
21 апр 2020 в 16:49 ученик на 12 години от София - 019 СОУ "Елин Пелин", випуск 2026
17 апр 2020 в 13:24 в момента не учи на 24 години
08 апр 2020 в 13:39 потребител
31 окт 2019 в 08:18 потребител на 42 години
 
Домашни по темата на материала
спешно !!! благодаря !!!!
добавена от elena_pr 22.03.2020
0
10
Математика задача 9 клас
добавена от ivanna.plamenova8090 20.01.2020
0
7
Един работник може да свърши определена работа за 3 дни
добавена от krasimir.krasimirov_6027 12.01.2020
0
13
Задачи от работа СПЕШНО
добавена от zornicaantonova977 02.01.2020
2
26
спешно !!! благодаря !!!!
добавена от elena_pr 08.12.2019
1
20
Подобни материали
 

delenie na chislata do 1000

18 дек 2009
·
233
·
4
·
393
·
400
·
4
·
2

Проверка на домашната работа - отговорниците на трите редици съобщават резултатите от проверката на домашната работа У - Какво учихме последните часове по математика? У – ци - Деление с остатък на числата до 100 с двуцифрено число...
 

Доказване на Питагоровата теорема - 1 начин

26 юни 2007
·
326
·
2
·
117
·
312

Това са две основни задачи и са предназначени за ученици от 9 клас.
 

Комбинаторни задачи

03 юли 2007
·
344
·
2
·
217
·
190

Пет задачи по комбинаторика плюс решенията им................
 

Действия с вектори

20 яну 2008
·
280
·
1
·
154
·
146
·
1

Вектори, векторни величини, скаларни величини, графично представяне на вектори, събиране и изваждане на вектори, умножение на вектор с число.
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Математика
изпитен тест по Математика за Студенти от 2 курс
Тест за студенти - магистри, ПНУП. Всички въпроси са с един верен отговор.
(Лесен)
29
16
1
4 мин
25.09.2019
Тест по математика за 7-ми клас върху раздел "Уравнения"
тематичен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тестът съдържа 10 въпроса. Всеки въпрос e с по един верен отговор. Предназначен е за ученици от 7-ми клас и се фокусира върху раздел "Уравнения".
(Лесен)
10
97
1
11.10.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Задачи, давани на конкурсен изпит за прием в математическите гимназии

Материал № 33248, от 04 юни 2007
Свален: 555 пъти
Прегледан: 781 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Упражнение
Брой страници: 28
Брой думи: 1,150
Брой символи: 10,575

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Задачи, давани на конкурсен изпит за прием в ма ..."?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

инж. Анна Йолчева
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  12 години
204 38

Иванка Димитрова
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  36 години
49 38

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения