Големина на текста:
6. Ранг на матрица
Понятието ранг съпоставя на всяка матрица едно число,
което е нейна инварианта по отношение на еквивалентните
преобразувания, т.е. не се променя при тяхното прилагане.
Нека е дадена производна матрица А
mxn
. Минор от ред к на
матрицата А наричаме детерминантата на квадратна
матрица от ред к, получена от пресичането на произволно
избрани к реда и к стълба на тази матрица.
Ранг на матрица наричаме най-високия ред на различен от
нула минор на тази матрица.
Рангът на матрицата А се означава с r(A). Ако матрицата А
има рангr, съгласно дадената дефиниция това означава две
неща:
1. Матрицата има минор от ред r, който е различен от нула;
2. Всеки минор на А от ред, по-голям от r, е равен на нула.
Рангът на матрица не се променя при следните т.н.
елементарни преобразувания:
1. Смяна на местата на два реда (стълба)
2. Умножаване на ред (стълб) с число, различно от нула;
3. Прибавяне на един ред (стълб), умножен с число, към
друг ред (стълб).
За да докажем това, че елементарните преобразувания не
променят ранга, трябва да покажем, че на всеки ненулев
минор М на дадена матрица А съответства ненулев минор М
на преобразуваната матрица А от същия ред и обратно. Тъй
като елементарните преобразувания са обратими,
достатъчно е да направим разгледанията само в едната
посока.
Ако М е ненулев минор на матрицата А, първото
елементарно преобразувание върху нея има следното
действие: а) не променя минора М, ако е приложено върху
редове (стълбове), които не участват в него; б) сменя му
само знака, ако и двата участват в М; в) ако сменя местата
например на ред от М и ред извън М, то минорът ?М,
включващ останалите редове на М и този, който си сменя
мястото с реда от М, ще има стойността на М.
Действието на второто елементарно преобразувание е
очевидно,: то умножава с число, различно от нула,
минорите, образувани с участието на умножения ред, и не
променя останалите.
Ясно е, че с помощта на елементарните преобразувания
всяка матрица може да се приведе в трапецовидна форма.
Второто твърдение, което ще докажем, е че рангът на
трапецовидната матрица е равен на броя на ненулевите й
редове.
Тъй като премахването на нулевите редове не променя
ранга на матрицата, можем да кажем, че всяка матрица е
еквивалентна на трапецовидна без нулеви редове. Ако
матрицата А е еквивалентна на трапецовидна матрица с r
ненулеви реда,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rnr r
nr
nr
aa
aaa
aaa
............00
................................
..........0
........
222 2
111 21 1
a
~A
(аii?0, I = 1……r), то рангът й е най-много r-минори от по-
висок ред последната матрица няма. За да докажем, че r(A)
= r, трябва да намерим минор от ред r, който е различен от
нула. Такъв е например минорът :
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rr
r
r
a
aa
aa
........00
.......................
.......0
.....
22 2
11 21 1
a
, който е равен на a
11
.
а
22
…a
rr
.
Следователно пресмятането на ранга на една матрица може
да се извърши със същата процедура, с която се решава
системи по метода на Гаус - чрез привеждане в
трапецовидна форма с еквивалентни преобразувания, които
в случая могат да се прилагат както към редовете, така и
7. Обратна матрица. Матрични уравнения. Теорема и
формула на Крамер
Аналог на реципрочното на едно различно от нула число при
матриците е обратната на матрицата А – по дефиниция
това е такава матрица В, която умножава с А отляво и
отдясно дава единична матрица:
В.А = А.В = Е
От тази дефиниция, съгласно условието за умножение на
две матрици следва, че за обратна матрица на матрицата А
можем да говорим само ако А е квадратна. Тогава от
горното следва, че и обратната й В е квадратна от същия
ред, и произведението е единичната матрица от този ред:
А
n
.B
n
= B
n
.A
n
= E
n
Ще докажем, че ако квадратната матрица А има обратна, тя
е единствена. За целта нека допуснем, че А има две
обратни В и С. Тогава са изпълнени равенствата:
А.В = B.A = E, A.C = C.A = E
Умножаваме равенството А.В = Е отляво с С:
С.А.В=С.Е
Заместваме произведението С.А с Е и като използваме, че
всяка матрица, умножена с единичната отляво или отдясно,
се запазва, получаваме
C.A.B = E.B = B = C.E = C
което доказва направеното твърдение.
Обратната на матрицата А, когато съществува, ще
означаваме с А
-1
. От равноправното участие на А и на
обратната й В в дефиниционното равенство следва, че ако
В е обратна на А, то А е обратна на В:
-1
)
-1
= А
Освен това действието обръщане на матрица има следните
свойства:
1
)
-1
=(А
-1
)
1
(А.В)
-1
-1
-1
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една
квадратна матрица да има обратна е детерминантата й да е
различна от нула.
Доказателство: Квадратна матрица, чиято детерминанта е
различна от нула, се нарича неособена или неизродена. В
противен случай матрицата се нарича особена или
изродена.
Необходимостта на условието, т.е. че ако А има обратна, то
?А?= 0, следва от следната лема, която ще приемем без
доказателство:
Лема 1: Ако матриците А и В са квадратни от един и същи
ред, то ?А.В?= ?А?.?В?
Следователно, ако матрицата В е обратна на матрицата А, е
изпълнено ?А.В?= ?А?.?В?= ?Е?= 1
Щом произведението на детерминантите на А и В е равно на
1, всяка от тях е различна от нула.
Матрични уравнения
При изучаване на действията с матрици разгледахме някои
матрични уравнения. Тогава ги решавахме като
означавахме елементите на неизвестната матрица с някакви
букви и след извършването на съответните операции с
участващите в уравнението матрици получавахме система
уравнения за неизвестните числа. Този начин за решаване
на матрични уравнения е универсален – по него може да се
реши всяко такова уравнение, стига да е зададено коректно.
Матричните уравнения от вида А.Х = В, Х.А = В, А.Х.В=С
могат да се решават чрез използване на обратна матрица,
стига матриците – коефициенти, които умножават
неизвестната матрица Х, да са квадратни и неособени.
Тогава имат обратни и матрицата Х се намира с подходящи
умножавания на двете страни на уравнението с тези
обратни.
Така например уравнението А.Х=В при посочените условия
след умножаване отляво с А
-1
става А
-1
.А.Х = А
-1
. В, и след
заместването на А
-1
. А с Е получаваме решението в
матричен запис: Х = А
-1
. В
По същия начин за уравненията Х.А =В и А.Х.В = С имаме
съответно Х =В.А
-1
, Х = А
-1
.С.В
-1
.
Теорема и формули на Крамер
Всяка система линейни уравнения може да се запише по-
кратко в матричен вид и по този начин да се разглежда като
едно матрично уравнение: А
mxn
.X
nx1
= B
mx1
Следователно в този случай системата е определена.
8. Вектори. Линейни операции. Свойства
Ако А и В са две различни точки, фиксирайки едната от
двете възможни посоки на движение върху отсечката АВ,
например от А към В, отсечката АВ става насочена отсечка
или свързан вектор и се означава
АВ
. Една ненулева
отсечка АВ определя два свързани вектора
АВ
и
ВА
, които се наричат противоположни. Ако двата края
на отсечката съвпадат, казваме, че е зададен нулев свързан
вектор.
Нека АВ е произволен свързан вектор. Множеството на
всички свързани вектори, които имат дължината и посоката
на свързания вектор АВ, се нарича свободен вектор.
Свободните вектори се означават с малки латински букви
със стрелка над тях. Ако
a
?
се нарича представител на
вектора
a
?
с начало А и край В. Дължината на свободния
вектор е дължината на неговите представители, а посоката
му се определя от тяхната посока. Дължините на векторите
се означават стандартно с
a
?
или
AB
. Нулевият
вектор е единственият вектор, който няма определена
посока и има дължина 0. Вектор с дължина единица се
нарича единичен.
Ако
a
?
е ненулев вектор, противоположен на
a
?
се
нарича векторът, който има големина, равна на тази на
a
?
, а посоката му е противоположна на посоката на
a
?
.
Означава се с -
a
?
и очевидно представителите му са
противоположните на представителите на вектора
a
?
свързани вектори.
Съгласно дефиницията на свободен вектор, два вектора
a
?
и
b
?
ще са равни когато имат една и съща големина
и еднакви посоки, или, казано с други думи, всеки
представител на
a
?
е представител и на
b
?
и обратно.
Линейни операции:
Сбор
ba
?
?
+
на векторите
a
?
и
b
?
наричаме вектора
c
?
, който се определя по следния начин: ако
aOA
?
=
->
,
bAB
?
=
->
,то
->
=
OBc
?
.
Ако векторите
a
?
и
b
?
са успоредни, точките О, А и В ще
лежат на една права. Ако двата вектора не са успоредни,
триъгълникът ОАВ може да се допълни до успоредник ОАВС
и от равенствата
bABOC
?
==
->->
получаваме
еквивалентното на даденото правило за събиране на
вектори:
->->->
+==+
OCOAOBba
?
?
Както е известно операцията събиране на вектори има
свойствата:
1)
abba
?
??
?
+=+
(комуникативност)
2)
)()(cbacba
?
?
?
?
?
?
++=++
(асоциативност)
3)
0)(
?
??
=–+
aa
Разлика на два вектора разбираме вектора
c
?
, за който
cba
?
?
?
+=
. Като вземем предвид свойствата на сбора,
можем да запишем разликата
ba
?
?
като
)(ba
?
?
+
:
aabbabab
?
?
?
??
?
?
?
?
=+=–++=–++
0)(()((
Произведение на число и вектор – ако са дадени число ? и
вектор
a
?
, под произведение ?.
a
?
ще разбираме
вектора
b
?
= ?.
a
?
, които се определя по следния начин:
1)
ab
?
?
.
?
=
;
2)посоката на
b
?
съвпада с посоката на
a
?
, ако ?>0, и е
противоположна на посоката на
a
?
, ако ?<0.
Свойства: 1)1.
a
?
=
a
?
; 2) 0.
a
?
=
0
?
; 3)
00.
??
=
?
; 4)
aaa
???
..).(
µ?µ?
+=+
; 5)
)..()..(aa
??
µ?µ?
=
От дефиницията на операцията умножение на вектор с
число следва, че ако умножим един ненулев вектор с
реципрочната стойност на дължината му, той става
единичен:
1.
1
.
1
==
a
a
a
a
?
?
?
?
Също така от дефиницията следва, че когато умножим
вектора
a
?
по някакво число, резултатът ще бъде вектор,
към стълбовете на матрицата.
Чрез понятието ранг може да се изрази условието за
съвместимост на система линейни уравнения.
Ако системата е съвместима, в трапецовидната форма на
разширената й матрица няма да участва ред, който да е
нулев в основната, а ненулев в разширената матрица. В
този случай ранговете на основната и на разширената
матрица са равни.
Теорема на Кронекер – Капели:
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една система
линейни уравнения да е съвместима е рангът на основната
й матрица да е равен на ранга на разширената матрица.
Рангът на основната матрица е най-много равен на ранга на
разширената – от дефиницията на ранг следва, че
прибавянето на един стълб или запазва ранга, или го
увеличава с единица.
Следствие 1: Една съвместима система линейни уравнения
е определена, когато рангът на основната й матрица е равен
на броя на неизвестните, и е неопределена, когато е по-
малък от техния брой.
От това следствие получаваме условието една хомогенна
система да има ненулеви решения:
Теорема 2: Необходимо и достатъчно условие една
хомогенна система линейни уравнения да има ненулеви
решения е рангът на матрицата й да е по-малък от броя на
неизвестните.
Ако системата е квадратна, т.е. има еднакъв брой уравнения
и неизвестни, това условие се изразява чрез
детерминантата на матрицата й. Действително,
детерминатата на системата е единствения й минор от
възомжно най-висок ред, а именно броя на неизвестните в
системата. Това означава, съгласно определението за ранг,
че условието в Теорема 2 е еквивалентно с това
детерминатата на системата да е равна на нула.
Следователно е в сила следното следствие от Теорема :
Следствие 2: Необходимото и достатъчно условие една
квадратна хомогенна система да има ненулеви решения е
детерминантата на основната й матрица да е равна на нула.
успоредна на
a
?
. Ако векторът
a
?
е ненулев и векторът
b
?
е успореден на
a
?
, то
b
?
е пропорционален на
a
?
.
Както при матриците, наличието на операциите събиране на
вектори и умножаване на вектор с число с указаните
свойства ни дава възможност да образуваме произволни
линейни комбинации от вектори, т.е. изрази от вида:
nn
aaa
???
......
2211
???
++
които ще са
отново вектори.

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.
Последно свалили материала:
ДАТА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ПОТРЕБИТЕЛЯ
03 ное 2019 в 15:39 студент на 28 години от Пловдив - вуаар, випуск 2023
10 юли 2019 в 12:27 потребител
14 яну 2019 в 12:59 студентка на 27 години от Шумен - Факултет "Артилерия, ПВО и КИС" към НВУ "Васил Левски" - В. Търново, факулетет - Артилерия, ПВО и КИС, специалност - КСТ, випуск 2018
26 дек 2018 в 17:47 родител на 43 години
20 дек 2018 в 09:04 студент на 26 години от Пловдив - ПУ "Паисий Хилендарски", факулетет - Философско-исторически факултет, специалност - Археология, випуск 2018
19 окт 2018 в 19:17 учител на 57 години от Пловдив - СОУ "Свети Патриарх Евтимий", випуск 2012
08 окт 2018 в 10:16 ученик на 21 години от Силистра - ПГМТ "Владимир Комаров", випуск 2018
24 сеп 2018 в 23:27 студентка на 23 години от София - Университет по архитектура, строителство и геодезия, факулетет - Строителен факултет, специалност - ССС
13 мар 2017 в 23:22 студент на 40 години от Габрово - Технически университет, факулетет - МУ, специалност - ИИ, випуск 2012
01 фев 2017 в 09:17 ученик на 25 години от Летница - СОУ "Бачо Киро", випуск 2016
 
Домашни по темата на материала
помогнете моля решение чрез матрици
добавена от galka.baliova 21.10.2014
0
11
Уравнения математика 8 клас анубис
добавена от silvaaleksieva 23.09.2015
3
11
ако може някои да я реши
добавена от anton.galabov.7 22.01.2015
4
8
Подобни материали
 

План на урок по математика за III клас

30 окт 2010
·
962
·
6
·
965
·
1,629

Цел на урока: учениците да затвърдят знанията си и да усъвършенстват уменията си за деление на трицифрено число е едноцифрено, когато се осъществява преминаване от реда на стотиците към реда на десетиците...
 

Задачи по математика

15 мар 2007
·
2,039
·
4
·
120
·
1,281
·
2
·
14

Кое е най-голямото цяло число, което е решение на двете неравенства.....?
 

Логически задачи и решенията им

28 мар 2010
·
189
·
2
·
362
·
506

В документа е обяснено решаването на няколко логически задачи, което подпомага за разбирането на такива типове задачи...
 

Курсова работа по висша математика

23 фев 2009
·
866
·
9
·
238
·
1,660
·
1
·
2

Курсова работа по висша математика, състояща се от 32 задачи. Задачите са свъзани с аналитична геометрия, линейна алгебра и математическо оптимиране
 

Ранг на матрица

21 фев 2010
·
63
·
1
·
519
·
132

N-мерно аритметично векторно произведение. Ранг на матрица. Елементарни преобразувания на матрица. Базисен минор...
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Национално външно оценяване в ІV клас по математика
изходен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тест на Министерството на образованието и науката, даден за Национално външно оценяване в ІV клас по математика на 10 май 2019 г. Включени са само въпросите с избираем отговор. Всеки въпрос има само един верен отговор.
(Много лесен)
16
4
3
9 мин
21.11.2019
Междинен тест по математика за 7-ми клас (за края на срока)
междинен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Обхваща материал, изучаван през първи учебен срок на 7-ми клас. Съдържа 20 задачи, всяка от които има само един верен отговор.
Тестът е изготвен от:
Радка Кънчева преподавател
(Труден)
20
29
1
6 мин
04.10.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Ранг на матрица

Материал № 33238, от 04 юни 2007
Свален: 1,180 пъти
Прегледан: 569 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Общ материал
Брой страници: 2
Брой думи: 747
Брой символи: 6,597

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Ранг на матрица"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Магдалена Иванова
преподава по Математика
в град Варна
39

Мира Александрова
преподава по Математика
в град София
с опит от  14 години
15

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения