Нина Йорданова
преподава по Математика
в град Русе
Големина на текста:
Г. Ил. Трапов. Записки със задачи по ВМ I (Линейна алгебра и аналитична геометрия), 2006 година.
Тема: Уравнения на линии от втори ред (втора степен)
УРАВНЕНИЯ НА ЛИНИИ ОТ ВТОРИ РЕД (ВТОРА СТЕПЕН)
Уравнение на окръжност.
Окръжността е геометрично място на точки в равнината, които отстоят на разстояние R от
дадена точка C, която е от същата равнина. Числото R се нарича радиус на окръжността, а
точка C – неин център.
Нека в равнината е установена правоъгълна (декартова) координатна система Oxy и
спрямо нея центъра на окръжността има координати
) ;(
??
C
. Ако точка M(x, y) е
произволна (текуща) точка от окръжността k (фиг. 1), то в сила е равенството
RCM
=
.
След повдигане на двете му страни на квадрат и изразяване чрез координатите, получаваме
равенството
222
)()(Ryx
=–+–
??
, /1/
което се нарича уравнение на окръжността k.
В
уравнението на окръжността /1/ да развием квадратите в лявата страна. Получаваме
уравнението във вида
0.2.2:
22222
=++––+
Ryxyxk
????
./2/
Да запишем как изглежда едно уравнение от втора степен на x и y в най общ вид:
0
22
=+++++
FEyDxCxyByAx
./3/
За да представя това уравнение окръжност трябва непременно A=B и C=0, т.е. то трябва
да има вида
0
22
=++++
FEyDxAyAx
. Ако тук разделим двете страни на уравнението на A
и положим
c
A
F
b
A
E
a
A
D
===
;2 ;2
, уравнението става
022
22
=++++
cbyaxyx
./4/
За да представя това уравнение реална окръжност, трябва
0
22
>–+
cba
. Тогава
cbaRba
–+=–==
222
; ;
??
. Ако
0
22
=–+
cba
окръжността се изражда в точка, а при
0
22
<–+
cba
окръжността не съществува (не е реална).
Уравнения на окръжност в частни положения.
Нека в /2/
222
R
=+
??
. Тогава уравнението става
0.2.2:
22
=––+
yxyxk
??
и представя
окръжност, която минава през началото на координатната система (фиг 2).
Ако в /2/
0
=
?
, то уравнението добива вида
0.2:
2222
=+–+
Rxyxk
??
, или като
положим
22
Rc
–=
?
става
0.2:
22
=+–+
cxyxk
?
и представлява окръжност, чиито център
)0 ;(
?
C
лежи на абсцисната ос (фиг 3).
Ако в /2/
0
=
?
, то уравнението добива вида
0.2:
22 22
=–+–+
Ryyxk
??
, или като
положим
22
Rc
–=
?
става
02:
22
=+–+
cbyyxk
и представлява окръжност, чиито център
) ;0(
?
C
лежи на ординатната ос (фиг 4)..
Ако в /2/
0
=
?
и
0
=
?
, то уравнението добива вида
222
: Ryxk
=+
и представлява
окръжност, чиито център C(0, 0) съвпада с координатното начало. Това уравнение се нарича
централно или канонично уравнение на окръжността (фиг 5)..
Взаимни положения между окръжност и точка.
Нека са дадени окръжност k с уравнение
222
)()(:Ryxk
=–+–
??
и точка
) ,(
000
yxM
.
Да сравним разстоянието
CM
0
от точката
) ,(
000
yxM
до центъра
) ;(
??
C
на
окръжността с големината на радиуса R. Възможни са следните три случая:
51
y
x
O
k
M
C
R
Фиг. 4
x
y
M
k
O
C
R
Фиг. 5
x
O
k
M
C
R
y
Фиг. 2
k
?
?
M
y
x
O
C
R
Фиг. 1
O
M
x
k
R
y
Фиг. 3
C
Г. Ил. Трапов. Записки със задачи по ВМ I (Линейна алгебра и аналитична геометрия), 2006 година.
Тема: Уравнения на линии от втори ред (втора степен)
1).
RCM
=
0
, т.е.
22
0
2
0
)()(Ryx
=–+–
??
. Тогава точка
) ,(
000
yxM
лежи на
окръжността;
2).
RCM
>
0
, т.е.
22
0
2
0
)()(Ryx
>–+–
??
. Тогава точка
) ,(
000
yxM
лежи вън от
окръжността;
3).
RCM
<
0
, т.е.
22
0
2
0
)()(Ryx
<–+–
??
. Тогава точка
) ,(
000
yxM
лежи вътре в
окръжността.
Взаимни положения между окръжност и права.
Нека са дадени окръжност k с уравнение
0.2.2
22222
=++––+
Ryxyx
????
и правата
g с уравнение
0
=++
cbyax
. Можем да намерим разстоянието d от центъра
) ;(
??
C
на
окръжността до правата по познатата формула
22
..
ba
cba
d
++
=
??
.
Възможни са следните три случая:
1). Правата и окръжността имат две общи точки, т.е. правата е секуща. Критерий за това е
изпълнението на неравенството d<R. В този случай системата ,образувана от уравненията им
0
0.2.2
22222
=++
=–++––+
cbyax
Ryxyx
????
/3/
има две реални решения, които представляват координатите на пресечните точка;
2). Правата и окръжността имат една обща точка, т.е. правата е допирателна (тангента).
Критерий за това е изпълнението на равенството d=R. В този случай системата /3/,образувана
от уравненията им има едно двойно реално решение, което представлява координатите на
допирната точка;
3). Правата и окръжността нямат обща точка. Критерий за това е изпълнението на
неравенството d>R. В този случай системата /3/,образувана от уравненията няма реални
решения.
Доказва се, че ако е дадена окръжността k с уравнение
222
)()(Ryx
=–+–
??
и точка
) ;(
000
yxM
лежи на нея, то допирателната h към окръжността в тази точка има уравнение
2
00
)).(()).((:Ryyxxh
=––+––
????
./4/
Задача 1. Да се намери уравнението на окръжност с център
) ;(
??
C
и радиус R, ако:
а). C(-3; 4) и R=4; б). C( 0; 3) и R=3; в). C(-2; -3) и R=5; г). C( a; 0) и R=|a|.
Решение
а). В този случай центъра има координати
4 ;3
==
??
и радиус R=4. Като заместим
тези стойности в /1/ получаваме уравнението на търсената окръжност
222
4)4()3(
=–++
yx
, или
0986
22
=+–++
yxyx
;
По същият начин се решават и примери б), в) и г) и получаваме:
б).
222
3)3()0(
=–+–
yx
или
06
22
=–+
yyx
;
в).
222
5)3()2(
=+++
yx
или
01264
22
=–+++
yxyx
;
г).
222
||)0()( ayax
=–+
или
02
22
=–+
xyx
.
Задача 2. Да се провери представят ли окръжности следните уравнения:
а).
011030
22
=++–+
yxyx
;
б).
02064
22
=+––+
yxyx
;
в).
08633
22
=++
yxyx
;
г).
082333
22
=–+++
yxyxyx
;
д).
023632
22
=–++
yxyx
.
Решение
а). Има два основни подхода за решаването на задачи от този тип.
Първи начин.
В уравнението
011030
22
=++–+
yxyx
групираме събираемите, съдържащи само
едната от променливите
01).5.2().15.2(
22
=+++–
yyxx
и допълваме до точен квадрат,
чрез извършване на тъждествени преобразувания. В първата скобка прибавяме 225=15
2
и
52
Г. Ил. Трапов. Записки със задачи по ВМ I (Линейна алгебра и аналитична геометрия), 2006 година.
Тема: Уравнения на линии от втори ред (втора степен)
изваждаме същото число; във втората скобка прибавяме 25 и изваждаме 25. Така
получаваме:
=>=––+++++
0252251)25.5.2()225.15.2(
22
yyxx
=>=–++++
0249)5.5.2()15.15.2(
2222
yyxx
()
2
22
249)5()15(
=++–
yx
.
Приведохме уравнението във вида /1/, от където виждаме, че то представлява уравнение
на окръжност, при което центъра има координати
5 ;15
–==
??
, а радиуса е
7797,15249
?=
R
.
Втори начин.
Записваме уравнението във вида
015.2)15(2
22
=++–++
yxyx
и виждаме, че има точно
вида
022
22
=++++
cbyaxyx
, при което a=-15, b=5, c=1. Следователно това уравнение
представя окръжност с координати на центъра и радиус, съответно
249249 ;5 ;15)15(
222
==>=–+=–===–=–=
RcbaRba
??
.
б).
02064
22
=+––+
yxyx
.
Първи начин.
Аналогично на предходната задача, преобразуваме лявата страна на уравнението
7)3()2(020996444
2222
–=–+–=>=+–++–+
yxyyxx
.
От тук правим заключение, че окръжността не е реална.
Втори начин.
Като сравним вида на уравнението с /4/ виждаме, че a=-2, b=-3, c=20 и
072094
22
<–=–+=–+
cba
, т.е. уравнението не представя реална окръжност.
в).
08633
22
=+–+
yxyx
.
Тук уравнението представлява една реална окръжност с център
?
?
?
?
?
?
3
4
- ;1C
и радиус
3
5
=
R
.
г).
082333
22
=–+++
yxyxyx
;
Уравнението съдържа член от вида Cxy и следователно не е уравнение на окръжност.
д).
023632
22
=–+–+
yxyx
.
Коефициентите в това уравнение пред x
2
и y
2
не са равни и следователно не представлява
уравнение на окръжност.
Задача 3. Да се определи взаимното положение на точката M
1
и окръжността k:
а).
9
22
=+
yx
и M
1
(-3; 0);
б).
16
22
=+
yx
и M
1
(-3; -2);
в).
03
22
=–+
xyx
и M
1
(0; 0);
г).
0123
22
=–+–+
yxyx
и M
1
(-1; 5);
д).
010023
22
=–+–+
yxyx
и M
1
(-1; 1).
Решение
а).От
9:
22
=+
yxk
следва, че
3 ,0 ,0
===
R
??
. Тогава
3)00()30(
22
1
=–++==
CMd
. Тъй като R=d, следва, че точката лежи на окръжността.
Това можеше да установим и като заместим координатите на точката в уравнението на
окръжността и се убедим, че го удовлетворява;
б). Тук
4 ,0 ,0
===
R
??
, а
13)20()30(
22
1
=+++==
CMd
. Понеже в случая d<R,
следва, че точката лежи вътре в окръжността;
в). Уравнението на окръжността преработваме така
2
2
2
2
22
222
2
3
)0(
2
3
0
2
3
2
3
.
2
3
.203
?
?
?
?
?
?
=–+
?
?
?
?
?
?
–=>=+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+–=>=–+
yxyxxxyx
.
53

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Уравнение на окръжност

Окръжността е геометрично място на точки в равнината, които отстоят на разстояние R от дадена точка C, която е от същата равнина. Числото R се нарича радиус на окръжността, а точка C – неин център.
Изпратен от:
sianna86
на 2008-06-17
Добавен в:
Теми
по Математика
Статистика:
180 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Помощ за домашна работа
добавена от Apu3JL 20.03.2013
0
37
математика, геометрия-трапец и триъгълник
добавена от ivo.kostov.399 28.02.2013
0
14
Доказване на уравнение през една или две точки
добавена от esra_erdinceva874 06.01.2019
1
10
Висша математика 1курс
добавена от casinostarpetya 09.11.2017
2
8
Подобни материали
 

Задачи, давани на конкурсен изпит за прием в математическите гимназии

04 юни 2007
·
542
·
28
·
1,150
·
722
·
1

Задачи от конкурсни изпити по математика, заеднос решенията.
 

Пищови по висша математика

15 окт 2007
·
3,627
·
5
·
2,036
·
2,221
·
2

Матрици, детерминанти, интеграли и т.н..................
 

Методическа разработка на урок по математика за IV kлас

31 яну 2009
·
1,482
·
7
·
803
·
2,931
·
2
·
3

Примерна разработка на урок по матеметика за 4 клас
 

Отрезово уравнение на права в равнината. Декартово уравнение на права в равнината

20 апр 2008
·
340
·
6
·
265
·
298

В тази глава се разглеждат две нови уравнения на права в равнината: отрезово и декартово.
 

Детерминанти

23 фев 2008
·
528
·
17
·
590
·
290

Що е индекс? Нека е дадено едно наредено множество от елементи, например от 8 числа: -9; 21; 8; 17; 145; -76; 91; 7165. Всяко от тях има пореден номер в тази редица, който представлява и индекса на елемента...
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Формули за съкратено умножение
тематичен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тест по математика за седмокласници, целящ определяне нивото на усвояване на материала от формули за съкратено умножение. Всеки въпрос има само един верен отговор.
Тестът е изготвен от:
Силвия Табакова преподавател
(Труден)
12
119
1
10.11.2015
Математика
изпитен тест по Математика за Студенти от 2 курс
Тест за студенти - магистри, ПНУП. Всички въпроси са с един верен отговор.
(Труден)
29
1
25.09.2019
» виж всички онлайн тестове по математика

Уравнение на окръжност

Материал № 165507, от 17 юни 2008
Свален: 180 пъти
Прегледан: 185 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Тема
Брой страници: 6
Брой думи: 463
Брой символи: 4,238

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Уравнение на окръжност"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Нина Йорданова
преподава по Математика
в град Русе
с опит от  3 години
4

Калин Ангелов
преподава по Математика
в град Враца
с опит от  12 години
7

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения