Големина на текста:
ОПЕРАЦИИ, ПРЕДИКАТИ, СИГНАТУРИ, СТРУКТУРИ
Нека C е дадено множество от обекти, а n е положително цяло число. Ще наричаме n-
местни операции в C и n-местни предикати в C изображенията на множеството C
n
съответно в множеството C и в двуелементното множество {0,1} (както обикновено, с
C
n
означаваме множеството на наредените n-орки от елементи на C, като C
1
често ще
отъждествяваме с C; за числата 0 и 1 като стойности на предикати ще считаме, че
символизират съответно понятията "лъжа" и "истина"). Под 0-местна операция в C ще
разбираме елемент на C, а под 0-местен предикат - някое от числата 0 и 1.
Под сигнатура ще разбираме наредена четворка (?,?,?,?), за която са изпълнени
следните условия:
? е азбука, несъдържаща знаците "(", ")", "[", "]", "<", ">", ",", "¬", "&" и "?";
1
? и ? (множество на функционалните символи и множество на предикатните
символи) са непресичащи се множества от думи над ?;
? (функция за брой на аргументите) е функция от ??? към множеството на
неотрицателните цели числа;
множеството ? не е празно и съществуват безбройно много думи над ?,
непринадлежащи на ???.
Лексика (или допълнена сигнатура) ще наричаме наредена петорка (?,?,?,?,?),
където (?,?,?,?) е сигнатура, ? (множество на променливите) е безкрайно множество
от думи над ?, нямащо общи елементи с ???, и съществуват безбройно много думи
над ?, непринадлежащи на ?????.
Ако ?=(?,?,?,?) е сигнатура или ?=(?,?,?,?,?) е лексика, то думите от ? ще
наричаме функционални символи на ?, а думите от ? - предикатни символи на ?, като за
всяко цяло неотрицателно число n думите от множествата ?
n
={???|?(?)=n} и
?
n
={???|?(?)=n} ще наричаме съответно n-местни функционални символи на ? и n-
местни предикатни символи на ?; стойността на функцията ? за произволен
функционален или предикатен символ на ? ще наричаме брой на аргументите му.
Нулместните функционални символи се наричат още константи на ?, а нулместните
предикатни символи - съждителни символи на ?. Когато ?=(?,?,?,?,?) е лексика,
думите от ? ще наричаме променливи на ? (тези думи се наричат още и индивидни
променливи на ?).
Пример (имащ връзка с езика за програмиране Пролог). Нека азбуката ? се състои
от главните и малките латински букви, знака "_" и десетте цифри, ? и ? са
непресичащи се множества от думи над ?, всяка от които започва с малка латинска
буква, ? е функция от ??? към множеството на неотрицателните цели числа, а ? се
състои от онези думи над ?, които започват с главна латинска буква или със знака "_".
Тогава наредената петорка (?,?,?,?,?) е лексика в смисъла на горната дефиниция.
Съответна сигнатура на една лексика (?,?,?,?,?) ще наричаме четворката
(?,?,?,?). От изискването за всяка сигнатура (?,?,?,?) да съществуват безбройно
много думи над азбуката ?, които не принадлежат на обединението ???, е ясно, че
всяка сигнатура е съответна на някоя лексика. Същото изискване осигурява
възможност от всяка сигнатура да получим друга чрез добавяне на произволен краен
брой и даже на изброимо много нови функционални или предикатни символи без да
има нужда азбуката да се разширява с нови букви (аналогичното изискване в
дефиницията за лексика осигурява подобна възможност за разширяване на лексики,
включително и чрез добавяне на нови променливи).
Нека ?=(?,?,?,?) е дадена сигнатура. Структура за ? (или ?-структура) ще
наричаме наредена двойка (C,I), където C е непразно множество, а I е изображение с
дефиниционна област ???, такова, че за всяко неотрицателно цяло число n образите
I(?) на елементите ? на ?
n
са n-местни операции в C, а образите I(?) на елементите ? на
?
n
са n-местни предикати в C. Множеството C се нарича носител на структурата, а
функцията I - нейно интерпретиращо съответствие. Ако ? е лексика, то всяка
структура за съответната й сигнатура ще наричаме структура за ?.
Нека е дадена една лексика ?=(?,?,?,?,?) и нека S= (C,I) е структура за ?. Ще
наричаме оценка в S на променливите на ? (накратко оценка в S) всяко изображение на
множеството ? в множеството C (поне едно такова изображение съществува, понеже C
не е празно). Ако v е оценка в S, а ? е променлива на ?, то елемента v(?) на C ще
наричаме стойност на ? при оценката v. Ако ? е лексика, то ще наричаме
конфигурация (допълнена структура) за ? (или ?-конфигурация) всяка наредена двойка
(S,v), където S е структура за ?, а v е оценка в S. Под носител и интерпретиращо
съответствие на конфигурацията (S,v) ще разбираме съответно носителя и
интерпретиращото съответствие на структурата S.
Забележка. Ако ?=(?,?,?,?,?) е лексика, то от нея можем да получим една
сигнатура ??=(?,??,?,??), като положим ??=??? и означим с ?? онова продължение
на функцията ? върху ????, което приема стойност 0 за всички елементи на ? (за ??
ще казваме, че е получена от ? чрез превръщане на променливите в константи). В
случай че ((C,I),v) е конфигурация за ?, можем да получим една структура (C,I?) за ??,
като означим с I? продължението на I върху ????, определено при ??? с помощта на
равенството I?(?)=v(?).
Оттук нататък постоянно ще предполагаме, че е дадена някоя лексика ?=(?,?,?,?,?)
и за краткост няма изрично да я споменаваме, когато използваме въведените преди
малко термини за понятия, зависещи от нея - например ще говорим просто за
функционални и предикатни символи, за променливи, за структури и конфигурации, а
ще имаме пред вид съответно функционални и предикатни символи на ?, променливи
на ?, структури и конфигурации за ?. Няма да включваме споменаване на ? и в редица
други термини, които ще дефинираме по-нататък, въпреки че назоваваните чрез тях
понятия обикновено ще зависят от избора на лексиката ?. Освен това свободно ще
използваме въведените означения ?
n
и ?
n
за множеството на n -местните функционални
символи и множеството на n -местните предикатни символи на тази лексика.
ИНДУКТИВНИ ДЕФИНИЦИИ
Повечето от понятията, с които се работи в математиката, се въвеждат с помощта на
дефиниции. Обикновено една дефиниция въвежда наименование за обектите от даден
вид, които имат някакво определено свойство, или за системите от определен брой
обекти от даден вид или дадени видове, които обекти се намират в някакво определено
отношение помежду си. Например по дефиниция под четно число разбираме такова
цяло число, което се дели на 2, а преди това се дефинира кога едно цяло число се дели
на друго (а именно - когато първото число е равно на произведение на второто с
някакво цяло число; в този случай се казва още, че второто число е делител на
първото). Пак по дефиниция едно цяло число p се нарича просто, ако то е по-голямо от
1 и не притежава никакъв делител, който е по-малък от p и същевременно по-голям от
1. Дефиниции от такъв вид ще наричаме явни. Освен тях обаче понякога се използват и
друг вид дефиниции, наречени индуктивни, и тяхното използване е особено често във
въпроси от областта на математическата логика.
Както коя да е явна дефиниция, всяка индуктивна дефиниция също въвежда някакво
наименование - за някои измежду обектите от даден вид или за някои измежду
системите от определен брой обекти от даден вид или дадени видове. Можем да
приемем, че първият от тези два случая обхваща и втория, защото всяка система от
обекти може да се разглежда като един по-сложен обект. Затова ще се занимаем с
първия от случаите - въвеждане на наименование за някои измежду обектите от даден
вид. При една индуктивна дефиниция посочването на съвкупността на обектите, които
да се наричат по съответния начин, най-често се прави като се използват два вида
приемания: едните посочват известна част от въпросната съвкупност, а другите дават
начини от едни елементи на тази съвкупност при определени условия да се получават
други (понякога могат да се използват и такива приемания, които съдържат като
подслучаи приемания както от първия, така и от втория вид). Освен това негласно се
приема още, че в съвкупността, която се определя по този начин, попадат точно онези
елементи, за които това произтича от споменатите вече приемания, включени в
дефиницията. Ще илюстрираме казаното с един пример.
Пример 1. Някои измежду положителните цели числа временно ще наречем
достижими и това ще направим чрез индуктивна дефиниция, състояща се от следните
приемания:
а) числото 1 е достижимо;
б) за всяко достижимо число t числото t
2
+1 е също достижимо;
в) когато едно число е достижимо, всяко положително цяло число, което е негов
делител, също е достижимо;
г) произведението на всеки две достижими числа е пак достижимо.
Очевидно приемането а) е от първия от споменатите два вида, а останалите три
приемания са от втория вид. Като използваме приемането а) и няколкократно се
възползваме от приемането б), можем последователно да заключим, че освен числото 1
са достижими например и числата 2, 5, 26. От обстоятелството, че 26 е достижимо, с
помощта на приемането в) получаваме, че и 13 е достижимо. Оттук с помощта на
приемането г) виждаме, че достижими ще бъдат и всички други цели положителни
числа, на които простите множители са измежду числата 2, 5 и 13 (например
достижими ще бъдат числата 4, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 52, 64, 65 и безбройно много
други). Числата 17, 29 и 37 също са достижими благодарение на равенствата 4
2
+1=17,
17
2
+1=29.10, (4.17)
2
+1=37.125. Като се използват разсъждения в духа на
доказателството на Евклид, че простите числа са безбройно много, може да се покаже,
че има безбройно много прости числа, които са достижими. И наистина, ако p
1
, p
2
, ...,p
k
са дадени достижими прости числа, то с k-1-кратно използване на приемането г) и
еднократно използване на приемането б) се получава, че числото (p
1
p
2
...p
k
)
2
+1 е също
достижимо. Това число има поне един прост делител (евентуално съвпадащ със самото
число) и благодарение на приемането в) можем да сме сигурни, че и той е достижимо
число. Ясно е обаче, че такъв делител е непременно различен от кое да е от числата p
1
,
p
2
, ..., p
k
, тъй като в противен случай той би се оказал общ делител на две числа,

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Математическа логика

Операции, предикати, сигнатури, структури....................
Изпратен от:
zizi_st1
на 2008-05-28
Добавен в:
Теми
по Математика
Статистика:
139 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Matlab задача Намерете минимумите на следната функция
добавена от ivan.iiordanov_fb 18.05.2019
0
6
Трябва ми малко помощ по математика
добавена от breakforce 25.04.2013
0
26
Спешно ! Благодаря !
добавена от elena_pr 27.11.2018
1
10
Задача за 5 клас по математика
добавена от stamat.petkov 17.02.2018
2
11
Подобни материали
 

Доказване на Питагоровата теорема - 1 начин

26 юни 2007
·
319
·
2
·
117
·
295

Това са две основни задачи и са предназначени за ученици от 9 клас.
 

Методическа разработка на урок по математика за IV kлас

31 яну 2009
·
1,514
·
7
·
803
·
3,022
·
7
·
3

Примерна разработка на урок по матеметика за 4 клас
 

Курсова работа по висша математика

23 фев 2009
·
870
·
9
·
238
·
1,667
·
1
·
2

Курсова работа по висша математика, състояща се от 32 задачи. Задачите са свъзани с аналитична геометрия, линейна алгебра и математическо оптимиране
 

Височина, ъглополовяща и медиана в равнобедрен триъгълник

09 май 2011
·
176
·
10
·
98
·
682
·
1
·

Презентация на урок по математика...
 

Особености на децата при възприемане на геометричната форма и геометричните фигури’

19 дек 2011
·
139
·
7
·
1,061
·
335
·
1

Формата е един от признаците, по който разграничаваме предметите в пространството. Тя е получила обобщено отражение в геометричните фигури. В този смисъл те представляват сензорни еталони (образци) за форма...
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Тест по Математика за 6-ти клас над раздел "Дроби"
тематичен тест по Математика за Ученици от 6 клас
Тестът е тематичен над Дроби и е подходящ за всички ученици от 6-ти клас с нуждата за опресняване на своите знания от миналата година. Средно ниво на трудност - 10 задачи, само един верен отговор на въпрос.
(Труден)
10
49
1
1 мин
11.04.2017
Тест по математика за IV-ти клас
междинен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тестът е предназначен за междинна диагностика на ученици от ІV клас при проверка на знанията след първи учебен срок. Въпросите са само с един верен отговор.
(Много лесен)
11
7
1
3 мин
05.04.2019
» виж всички онлайн тестове по математика

Математическа логика

Материал № 156280, от 28 май 2008
Свален: 139 пъти
Прегледан: 141 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Тема
Брой страници: 106
Брой думи: 25,245
Брой символи: 229,854

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Математическа логика"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Мира Александрова
преподава по Математика
в град София
с опит от  14 години
22

Рада Стоянова Любенова-Янева
преподава по Математика
в град Пловдив
с опит от  17 години
28

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения