Големина на текста:
Триъгълници
I. Свойства на елементите в триъгълник:
1) Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър.
2) Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър. Тя
разделя медианата в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
3) Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в
триъгълника окръжност.
4) Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната
около триъгълника окръжност.
5) Ако ?=90
0
<=>a
2
+b
2
=c
2
(Питагоровата теорема).
6) Ако ?>90
0
<=>a
2
+b
2
<c
2
.
7) Ако ?<90
0
<=>a
2
+b
2
>c
2
.
8) Формули за ъглополовящата:
()
2
2
2
cb
bca
bcl
a
+
–=
(подобни формули може да се напишат и за
ъглополовящите към другите страни).
9) I свойство на ъглополовящата (Фиг.1): Ако
?LBA=?LAC <=>
AC
AB
LC
LB
=
(това свойство важи, както за
вътрешна, така и за външна ъглополовяща на даден ъгъл)
10) II свойство на ъглополовящата (Фиг.1):
CLBLABACl
a
..
2
=
. (виж 1)
11) III свойство на ъглополовящите:
2
cos
2
;
2
cos
2
;
2
cos
2
???
ba
ab
l
ac
ca
l
cb
bc
l
cba
+
=
+
=
+
=
.
12) Формули за медианите: 4m
a
=2(b
2
+c
2
) – a
2
(подобни формули може да се напишат и за медианите към другите страни).
13) Формули за връзка между страна и медиани:
()
2222
2249
acb
mmma
–+=
(подобни формули
може да се напишат и за медианите към другите страни; виж 2).
14) Средна отсечка: Ако M е среда на АС, а N среда на ВС, то средната отсечка MN в ?ABC
притежава следните свойства: MN?AB и
ABMN
2
1
=
.
II. Правоъгълен триъгълник с ?C=90
0
(фиг.2):
15) Ако ?А=30
0
, то
ca
2
1
=
16) Ако СС
1
медиана, то
cCC
2
1
1
=
17) Ако СС
1
е височина т.е. АС
1
=c
1
и ВС
1
=c
2
са
проекции съответно на а и b, то a
2
=c.c
2
; b
2
=c.c
1
; h
c
2
=c
1
.c
2
,
c=2R.
18) Тригонометрични функции:
a
b
g
b
a
tg
c
b
c
a
====
????
cot;;cos;sin
.
19) Косинусова теорема: a
2
=b
2
+c
2
–2b.c.cos?; b
2
=a
2
+c
2
–2a.c.cos? и c
2
=a
2
+b
2
–2a.b.cos?.
20) Синусова теорема:
R
cba
2
sinsinsin
===
???
.
И четирите забележителни точки, при остроъгълен
триъгълник са вътрешни, при тъпоъгълен триъгълник –
външни, а при правоъгълен триъгълник лежат върху
хипотенузата.
Бележка:
l
a
A B
C
L
Фиг.1
C
1
A B
C
Фиг.2
c
2
c
1
21) Тангенсова теорема:
2
2
??
??
+
=
+
tg
tg
ba
ba
.
22) Теорема за проекциите: a=b.cos?+c.cos?; b=c.cos?+a.cos?; c=a.cos?+b.cos?.
23) Молвейдови формули:
2
cos
2
sin
;
2
sin
2
cos
?
??
?
??
=
=
+
c
ba
c
ba
III. Лице на триъгълник:
24)
???
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
cabcabchbhahS
cba
======
.
25)
?
??
?
??
?
??
sin2
sinsin
sin2
sinsin
sin2
sinsin
222
cba
S
===
(виж 23).
26)
( ) ( )()
R
abc
rcprbprapprS
cba
4
=–=–=–==
, където
2
cba
p
++
=
е
полупериметъра, r – радиуса на вписаната окръжност, r
a
, r
b
, r
c
радиусите на външно вписаните
окръжности; R – радиуса на описаната окръжност.
27) Херонова формула:
()()()
cpbpappS
–––=
, където p е полупериметъра.
28) Лице на равностранен триъгълник:
4
3
2
a
S
=
.
29) Ако един триъгълник е разделен на няколко триъгълници, лицето му е равно на сбора от
лицата на тези триъгълници.
30) Ако вписаната в произволен ?ABC окръжност допира страната му АВ в точка К, като AK=x
и BK=y (Фиг. 6), то
2
cot..
?
gyxS
=
(виж 3).
IV. Подобни триъгълници:
31) Теорема на Талес (Фиг. 3): Ако две пресичащи се
прави (ОС и OD) се пресичат от няколко успоредни прави
(АВ, CD), то отсечките от едната права са пропорционални на
съответните отсечки от другата права, т.е. Ако AB?CD, то
CD
AB
OC
OA
OD
OB
==
.
Следствие: Всяка права, успоредна на една от страните
в даден триъгълник отсича от другите две страни
пропорционални отсечки т.е. Ако MN
?
AB, то
NB
MA
CN
CM
CB
CA
==
(Фиг. 4).
32) Обратна теорема на Талес (Фиг. 3): Ако AB?CD,
то
CD
AB
OC
OA
OD
OB
==
.
Следствие: Ако
NB
MA
CN
CM
CB
CA
==
, то MN
?
AB. (Фиг. 4).
33) Подобни триъгълници:
Определение: Ако ?ABC~?A
1
B
1
C
1
, то ?A=?B=?C и
111111
CA
AC
CB
BC
BA
AB
==
(Фиг. 5)
Признаци за подбие на триъгълници:
Два триъгълника са подобни т.е. ?ABC~?A
1
B
1
C
1
(Фиг. 5), ако:
D
O
A
B
C
Фиг.3
Фиг.4
A
B
C
N
M
C
1
A
B
Фиг.5
C
B
1
A
1
I признак: Два ъгъла от единия са съответно равни на два ъгъла от другия т.е. ?A=?A
1
и ?B=?B
1
;
II признак: Две страни от единия са съответно пропорционални на две страни от другия и ъглите,
заключени между тях са равни т.е.
1111
CB
BC
BA
AB
=
и ?B=?B
1
;
III признак: Страните на единия са съответно пропорционални на другия т.е.
111111
CA
AC
CB
BC
BA
AB
==
;
IV признак: Две страните на единия са съответно пропорционални на две страни от другия и ъглите
лежащи срещу по-големите от тези страни, са равни т.е.
1111
CB
BC
BA
AB
=
и ?C=?C
1
, ако AB>BC и
A
1
B
1
>B
1
C
1
;
Свойства на подобни триъгълници:
34) Ако ?ABC~?A
1
B
1
C
1
(Фиг. 5), то
111111
111
?
?
=======
P
P
R
R
r
r
l
l
m
m
h
h
BA
AB
c
c
c
c
c
c
.
35) Ако ?ABC~?A
1
B
1
C
1
(Фиг. 5), то
2
11
2
111
BA
AB
S
S
CBA
ABC
=
?
?
.
V. Триъгълник вписан в окръжност или описан около окръжност:
36) Нека произволен ?ABC има стани AB=c, BC=a и
AC=b, и вписаната в него окръжност допира тези страни
съответно в точките K, P, N (Фиг. 6). Ако означим: AK=AN=x,
BK=BP=y, CP=CN=z и р – полупериметъра на ?ABC, то x=p–
a, y=p–b, z=p–c.
37) От (36) за радиуса на вписаната в правоъгълен
триъгълник (?C=90
0
) окръжност, имаме a+b=c+2r или r=p–c.
38) Формула на Ойлер (за намиране на разстоянието
между центровете на вписаната и описаната окръжност на
триъгълник): Ако с d отбележим разстоянието между
центровете на вписаната и описаната окръжност на
триъгълник, с R – радиуса на описаната окръжност, а с r –
радиуса на вписаната окръжност, то
02
2
>=–=
RrRd
(виж 4).
39) Връзка между радиуса на вписаната в триъгълник окръжност и трите му височини:
cba
hhhr
1111
++=
(виж 5).
40) За произволен триъгълник:
222
.
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
sin
2
sin
??
?
??
?
?
??
tgtgtgpR
a
r
===
(виж 6). За равнобедрен триъгълник:
( )
???
?
coscos12sin
2
sin4
2
==
RRr
За всеки триъгълник диаметъра на вписаната окръжност е по-малък или
равен на радиуса на описаната окръжност. Затова във формулата на
Ойлер равенството се получава при равностранен триъгълник (защото
тогава центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат).
Бележка:
A
B
C
K
P
N
x
x
y
y
z
z
Фиг.6

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Триъгълници

Описание на фигурата триъгълник и видовете триъгълници. Лице и обиколка на триъгълник.
Изпратен от:

на 2008-05-07
Добавен в:
Уроци
по Математика
Статистика:
424 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Моля помогнете Даден е правоъгълен триъгълник АВС(ъгъл С=90^0),а=5см ,в=12см.Намерете с,h_c,a_(1,) b_1,r=?
добавена от tunaylutfiev2112 12.06.2020
0
3
Моля да ми помогнете.За днес ми трябват решенията.
добавена от yoannamariq3862 05.06.2020
0
9
Класна работа по математика
добавена от Bilgino154 08.05.2020
0
6
Окръжност описани и вписани в триъгълник.
добавена от hristovr917 24.06.2019
1
21
домашна по математика за 8 клас помогнете
добавена от t_milev 15.06.2019
1
11
Подобни материали
 

Дроби - определения

15 окт 2008
·
141
·
3
·
587
·
339

Нека а и b са естествени числа като b е различно от нула. Числото a/b се нарича обикновена дроб. Числото a се нарича числител, а числото b се нарича знаменател. Обикновената дроб е начин за представяне на разделянето на нещо цяло на части...
 

Комбинаторни задачи

03 юли 2007
·
342
·
2
·
217
·
188

Пет задачи по комбинаторика плюс решенията им................
 

Курсова работа по висша математика

23 фев 2009
·
882
·
9
·
238
·
1,722
·
7
·
2

Курсова работа по висша математика, състояща се от 32 задачи. Задачите са свъзани с аналитична геометрия, линейна алгебра и математическо оптимиране
 

Математика

26 сеп 2009
·
113
·
8
·
475
·
271

Прости числа. Разлагане на множители Едно естествено число, различно от 1, се нарича просто, ако няма други делители освен себе си и единицата. Всяко естествено число, което е по-голямо от 1 и не е просто, се нарича съставно...
 

delenie na chislata do 1000

18 дек 2009
·
229
·
4
·
393
·
396
·
1
·
2

Проверка на домашната работа - отговорниците на трите редици съобщават резултатите от проверката на домашната работа У - Какво учихме последните часове по математика? У – ци - Деление с остатък на числата до 100 с двуцифрено число...
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Тест по математика за IV-ти клас
междинен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тестът е предназначен за междинна диагностика на ученици от ІV клас при проверка на знанията след първи учебен срок. Въпросите са само с един верен отговор.
(Лесен)
11
12
1
3 мин
05.04.2019
Национално външно оценяване по математика за IV-ти клас
изпитен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тест от НВО за 2018 г. от Министерство на образованието и науката, даден на 14 май 2018 г. Всички въпроси имат само по един верен отговор.
(Лесен)
19
10
1
8 мин
08.07.2019
» виж всички онлайн тестове по математика

Триъгълници

Материал № 141181, от 07 май 2008
Свален: 424 пъти
Прегледан: 1,677 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Урок
Брой страници: 8
Брой думи: 882
Брой символи: 8,295

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Триъгълници"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

инж. Анна Йолчева
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  12 години
155 22

Иванка Димитрова
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  36 години
39 22

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения