Големина на текста:
ОСНОВИ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ЛОГИКА
1.1. Основни понятия
Основател на математическата логика е английският математик Джордж Бул (1815-
1864г). Затова тя се нарича Булева алгебра. Може да се срещне и под наименованията
алгебра на съжденията или алгебра на логиката.
В Булевата алгебра се използват две твърдения, които се отъждествяват с ИСТИНА
и ЛЪЖА. Тези две твърдения могат да се кодират с цифрите 1 и 0.
Ако ИСТИНАТА се кодира с 1, а ЛЪЖАТА с 0, логиката се нарича положителна.
При обратното кодиране логиката се нарича отрицателна.
Основните логически ОПЕРАЦИИ в Булевата алгебра са:
1• ИНВЕРСИЯ – [Логическо ОТРИЦАНИЕ, НЕ (NOT)] – X или X?;
2• КОНЮНКЦИЯ – [Логическо УМНОЖЕНИЕ, И (AND)] – или X . Y;
3• ДИЗЮНКЦИЯ – [Логическо СЪБИРАНЕ, ИЛИ (OR)] – YX ?или X + Y.
Като всяка алгебра и в Булевата има аксиоми, теореми, константи, променливи и
функции. Характерно за Булевата алгебра е, че аксиомите и теоремите имат по две форми,
поради свойството ДВОЙСТВЕНОСТ (двузначност, дуалност).
ЛОГИЧЕСКИТЕ КОНСТАНТИ са две: константа “0” и константа “1”.
ЛОГИЧЕСКА ПРОМЕНЛИВА е всяка величина, която може да приема само две
стойности – 0 или 1. Променливата се означава със символ. Например: A,B,C,….X,Y,Z.
АКСИОМИ на Булевата алгебра.
Първата аксиома утвърждава, че коя да е променлива може да приема само две
стойности:
(А1) X = 1, ако X != 0 X = 0, ако X != 1 (A1?)
Втората аксиома се отнася до операцията отрицание:
(А2) ако X = 1, то X = 0 ако X = 0, то X = 1 (A2?)
Останалите аксиоми дефинират операциите конюнкция и дизюнкция:
Конюнкция (И) Дизюнкция (ИЛИ)
(A3) 0 . 0 = 0 1 + 1 = 1 (A3?)
(A4) 0 . 1 = 0 1 + 0 = 1 (A4?)
(A5) 1 . 0 = 0 0 + 1 = 1 (A5?)
(A6) 1 . 1 = 1 0 + 0 = 0 (A6?)
От аксиомите (А) и ?), следва принципа на двойственост, който формулира
връзката между положителната и отрицателната логика. Ако заменим всички 1 с 0 и
всички 0 с 1, операцията конюнкцията се заменя с операцията дизюнкция и обратно.
ЛОГИЧЕСКА ФУНКЦИЯ е всяка функция, която зависи от краен брой логически
променливи (аргументи) и може да приема само две стойности – 0 или 1.
F = f(X
1
,X
2
,X
3
, …, X
n
).
НАБОР се нарича всяка съвкупност (комбинация) от конкретните стойности на
аргументите на функцията. На всеки набор се присвоява номер равен на двоичното число,
образувано от последователността от стойности на променливите. Номерът може да се
запише и в десетична бройна система.
Броят N на всички възможни набори на логическа функция от n аргумента е:
n2N= (1.1)
Броят F на логическите функции от n променливи е:
n22N2F== (1.2)
Логическата функция се нарича напълно определена, ако има конкретна стойност за
всеки набор. Ако за някои от наборите логическата функция няма конкретна стойност,
функцията се нарича непълно определена.
1.2 Основни закони (теореми) на Булевата алгебра
Аксиомите на Булевата алгебра са формулирани, използвайки две форми,
различаващи се със смяната на 0 с 1 и смяна на знака (.) с (+). От тук следва, че принципът
на двойственост може да се използва за всяка теорема или равенство.
Закони за една променлива:
(Т1) A . 0 =
0
A + 1 =
1
(Т1?
)
(Т2) A . 1 =
A
A + 0 =
А
(Т2?
)
(Т3) A . A =
A
A + A =
A
(Т3?
)
(Т4) A . A=
0
A + A =
1
(Т4?
)
Закон на двойното инвертиране:
(T5) А = А (Т5?)
Закони за две и три променливи:
(Т6) A.B = B.A
Разместване
(комутативен)
A + B = B + A
(Т6?)
(Т7) A.(B.C) = (A.B).C
Съчетаване
(асоциативен)
A + (B +C) = (A +
B) + C
(Т7?)
(Т8) A.(B + C) = A.B +
A.C
Разпределяне
(дистрибутивен)
A + B.C = (A + B).
(A + C)
(Т8?)
(Т9) A + A.B = A
Поглъщане
A.(A + B) = A
(Т9?)
(Т1
0)
A.B + A.B = A
Слепване
(A + B).(A + B) = A
(Т10?
)
(Т1
1)
BABАA+=+.
Съкращаване
BABAA.).(=+
(Т11?
)
(Т1
2)
A.B +A.C = (A +
C)(A+B)
Преместване
(A + B)(A+ C) =
A.C + A.B
(Т12?
)
(T13)
на Де Морган
BABA.=+
(T13?)
1.3 Елементарни логически функции
Логическите функции на една и две променливи се наричат елементарни логически
функции. Всяка една от тях има собствено име.
Броят на възможните логически функции от една променлива (n = 1) са четири (), а
броят на наборите два. Наименованието и означенията на логическите функции са
показани в таблица - 1.1. 4122F==
Таблица 1.1
X 0
1
Наименование Означение
F
0
0
0
Константа 0 F
0
= 0
F
1
0
1
Променлива X F
1
= X
F
2
1
0
Инверсия на
X
F
2
= X
F
3
1
1
Константа 1 F
3
= 1
Броят на възможните логически функции от две променливи (n = 2) e шестнадесет
(), а броят на наборите четири. Наименованието и означенията на логическите функции са
показани в таблица - 1.2 16222F==
Функциите F
8
до F
15
са инверсни съответно на функциите F
7
до F
0
.
Таблица 1.2
№ на
набор
0
1
2
3
Наименование на
логическата
функция
Логическа
операция
A 0
0
1
1
B 0
1
0
1
F
0
0
0
0
0
Константа 0 0
F
1
0
0
0
1
Конюнкция, И, AND,
Лог. произведение
A ? B;
A . B
F
2
0
0
1
0
Забрана по B
A ? B;
A .B
F
3
0
0
1
1
Променлива А
A
F
4
0
1
0
0
Забрана по А
B ? A;
A. B
F
5
0
1
0
1
Променлива B
B
F
6
0
1
1
0
Сума по модул 2
Изключващо ИЛИ, XOR
A B ?
AB + AB
F
7
0
1
1
1
Дизюнкция, ИЛИ, OR,
Лог.сума
A V B;
A + B
F
8
1
0
0
0
Функция на Пирс,
ИЛИ-НE, NOR
A ? B;
BA+
F
9
1
0
0
1
Лог.равнозначност BA?;
ABBA+

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Основи на математическата логика

Основател на математическата логика е английският математик Джордж Бул (1815-1864г). Затова тя се нарича Булева алгебра. Може да се срещне и под наименованията алгебра на съжденията или алгебра на логиката...
Изпратен от:
samsung87
на 2008-05-03
Добавен в:
Теми
по Математика
Статистика:
210 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Таблично и графично задаване на функции
добавена от silvaaleksieva 06.01.2016
0
9
Трябва ми малко помощ по математика
добавена от breakforce 25.04.2013
0
27
Преобразуване на изрази
добавена от winnerkata88 30.01.2013
0
24
Математика,НУПЧЕ,логика
добавена от gery.peeva.9 04.01.2018
1
11
Цели изрази Анубис 8 клас
добавена от silvaaleksieva 16.09.2015
1
5
Подобни материали
 

Задачи по математика

15 мар 2007
·
2,047
·
4
·
120
·
1,390
·
4
·
14

Кое е най-голямото цяло число, което е решение на двете неравенства.....?
 

Курсова работа по висша математика

23 фев 2009
·
882
·
9
·
238
·
1,722
·
7
·
2

Курсова работа по висша математика, състояща се от 32 задачи. Задачите са свъзани с аналитична геометрия, линейна алгебра и математическо оптимиране
 

Задачи от второ Математическо Састезание

24 фев 2007
·
736
·
4
·
174
·
420
·
3

Това са задачи от Коледно състезание по математика, заедно с отговорите.
 

Задачи за контролна работа по математика

10 юни 2007
·
1,210
·
1
·
153
·
1,375
·
7

Задачи за контролна работа по математика за 9 клас.....
 

Тест по математика за 7 клас - 2 вариант

16 юни 2007
·
1,708
·
12
·
641
·
12

Това е наскоро излезлия примерен тест на МОН за кандидатстване след 7 клас по математика - 2 вариант.
1 2 3 4 5 » 11
 
Онлайн тестове по Математика
Национално външно оценяване в ІV клас по математика
изходен тест по Математика за Ученици от 4 клас
Тест на Министерството на образованието и науката, даден за Национално външно оценяване в ІV клас по математика на 10 май 2019 г. Включени са само въпросите с избираем отговор. Всеки въпрос има само един верен отговор.
(Много лесен)
16
16
1
10 мин
21.11.2019
Тест по математика за 7-ми клас върху раздел "Уравнения"
тематичен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тестът съдържа 10 въпроса. Всеки въпрос e с по един верен отговор. Предназначен е за ученици от 7-ми клас и се фокусира върху раздел "Уравнения".
(Лесен)
10
97
1
11.10.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Основи на математическата логика

Материал № 138972, от 03 май 2008
Свален: 210 пъти
Прегледан: 158 пъти
Качен от:
Предмет: Математика
Тип: Тема
Брой страници: 13
Брой думи: 1,946
Брой символи: 18,087

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Основи на математическата логика"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

инж. Анна Йолчева
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  12 години
154 21

Иванка Димитрова
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  36 години
38 21

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения