Големина на текста:
KONSTANTIN
PRESLAVSKY
UNIVERSITY
S H U M E N
Ш У М Е Н С К И У Н И В Е Р С И Т Е Т
“Е П И С К О П К О Н С Т А Н Т И Н
П Р Е С Л А В С К И”
1
ФАКУЛТЕТ ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
КУРСОВА РАБОТА
по дисциплината „Числени методи“
на тема: Числено диференциране
Изготвил: Проверил:
Юджел Юксел СюлейманДоц. д-р. В. Хасанов
Ф.№ 1630040002
Специалност:
Компютърни информационни технологии
Курс: III
ШУМЕН
2018
Намирането на производни на функция е класическа задача на математическия анализ.
Много често в практиката се среща задачата за търсене на производна на функция f в
определена точка, като стойностите на функцията са известни само в краен брой
точки. В такъв случай се прибягва до числено диференциране.
Приближеното намиране на производна на функцията f се състои в намиране
производната на някоя приближаваща функция на f. Обикновено за приближаващи
функции се използват интерполационните полиноми.
Особено важен момент при численото диференциране на някои функции е възможната
неустойчивост на задачата, т.е. малки грешки в изходните данни да водят до големи
грешки в резултата, а понякога и до т.н. “взрив на грешката”.
Нека функцията f е определена в интервала [a, b] и х0,…, х
n
са различни точки от [a, b],
съгласно формулата на Нютон.
2
f(x) = N
n
(f; x) + f[
x0
,
x1
, . . . , x
n
, x] ?(x),
(1.1)
където ?(x) = (x –
x0
)(x –
x1
)…(x – x
n
), f[
x0
,
x1
, . . . , x
n
, x] е разделена разлика от n+1-ви
ред на точките x0,
x1
, . . . ,
xn
, x, а N
n
(f; x) е интерполационният полином на Нютон за f с
възли x0,
x1
, . . . , x
n
.
След диференциране двете страни на (1.1) получаваме:
f'=
Nn'
(f ; x)+f
[ , , … , , ]x0x1xnx '
?(x)+f[
, ,…, ,x0 x1xn x
]
?'
(x).
(1.2)
От дефиницията за производна на една функция и дефиницията за разделена разлика
имаме
f
[ , , … , , ]x0x1xnx '= ->limh 0f, , … , , + -[, , … , , ] x0 x1 xn x h fx0 x1 xn x h
=
=
->limh0f , , , … , , +x x0x1xnxh
=
->limh 0 + ()( + )!fn 2?hn2
В последното равенство използвахме връзката на разделените разлики с производните
на функцията с едни и същи редове. Така също
f [, , … , , ]x0x1 xnx = ( + ) ( ) ( + )! f n 1 ? n 1
където ? е точка от интервала (a, b). Получаваме формулата
( )= f'xNn'(f ; x) + + ()( + )!( )fn 2 ?0n 2? x +
+ + !fn 1?n1
( )?'x
, (1.3)
където изразът
( )R'x = + ()( + )!( )fn 2 ?0n 2? x +
+ + ! fn 1?n1
( )?'x
(1.4)
е грешката при приближаване на f'x с Nn'(f ; x).
В някои случаи изразът за грешката се опростява, например когато точката x съвпада с
някой от възлите x0,
x1
, . . . , x
n
, или когато ?'(x) = 0.
Най-често се използват частни случаи на формула (1.3):
1. При n = 1 и възли x0= a,
x1
= a + h, приближеният израз на f'(x) при x = a добива вида
N' (f, a) = f[a, a + h] =
+ - ( )fa hf a h
(1.5)
а грешката е R'(a) = ( ),f''?2h където ?
?
(a, a + h);
2. Отново за n = 1 и възли x0= a h,
x1
= a + h симетрични около точката a,
приближеният израз на f'(x) при x = a добива вида
(, ) =N'fa f[a – h, a + h] =
( + fah) - ( - fa h) 2h
,
(1.6)
а грешката е R'(a) = – ( ) f'''?6h2, където ?
?
(a – h, a + h);
3. За n = 2 и възли x0 = a,
x1
= a + h и
x2
= a + 2h, приближеният израз на f'x при x =
a се получава
(, )N'fa = f[a, a + h] + f[a, a + h, a + 2h](–h) =
-( ) + ( + 3fa4fah) - ( + fa2h) 2h
,
(1.7)
а грешката е R'(a) = ( ) f'''?3h2, където ?
?
(a, a + 2h);
4. Отново за n = 2 и възли x0= a,
x1
= a + h и
x2
= a + 2h, приближеният израз на f'(x)
при x = a + 2h се получава
N', +fa2h= ( ) fa - ( + 4fah) + ( + 3fa2h) 2h
(1.8)
а грешката е R'(a + 2h) = ( ) f'''?3h2, където ?
?
(a, a + 2h).
Други срещани формули за числено диференциране, които са изразени чрез крайни
разлики, се получават, като се използват интерполационни полиноми на Нютон с
крайни разлики.
3

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Числено диференциране

Намирането на производни на функция е класическа задача на математическия анализ. Много често в практиката се среща задачата за търсене на производна на функция f в определена точка, като стойностите на функцията са известни само в краен брой точки...
Изпратен от:
Юджел
на 2019-05-20
Добавен в:
Курсови работи
по Математически анализ
Статистика:
0 сваляния
виж още
 
 

Числено диференциране

Материал № 1348185, от 20 май 2019
Свален: 0 пъти
Прегледан: 1 пъти
Предмет: Математически анализ, Математика
Тип: Курсова работа
Брой страници: 4
Брой думи: 345
Брой символи: 2,293

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Числено диференциране"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Красимир Антонов
преподава по Математически анализ
в град Бургас
с опит от  22 години
319 80

Павлина Йорданова
преподава по Математически анализ
в град Варна
с опит от  5 години
267 32

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения