Мая Иванова
преподава по Математика
в град София
Големина на текста:
5. Скаларно и смесено
произведение.
Скаларно произведение на
нулевите свободни вектори a и b
наричаме числото
cosbaab=
,
където
е ъгълът между a и b.
Скаларното произведение на
нулевия свободен вектор с
произволен свободен вектор
считаме числото 0. Скаларното
произведение е число (скалар) . Не
е трудно да се покаже че
скаларното произведение има
свойствата: 1)
baab=
2)
acabcba+=+ )(
3)
abba
??
=)(
4)
0>=aa
като aa=0 тогава и само
тогава когато a=0. Формула за
косиноса на ъгъла между два
нулеви вектора:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
cos
bbbaaa
bababa
ba
ab
++++
++
==
. От тук следва, че нулевите
вектори a и b са ортогонални
тогава и само тогава когато
0
332211
=++bababa
. Смесено
произведение на векторите a,b,c
наричаме числото
cbaabc)( x=
.
Когато използваме свойствата на
детерминантата получаваме
следните свойства на смесеното
произведение: 1)
cbaacbbaccabbcaabc–=–=–===
2)
bcdacdcdba +=+ )(
3)
abcbca
??
=)(
4)
ако векторите abc са компланарни
то abc=0. Обратното своиство на
последното свойство също е вярно.
6. Векторно и двойно векторно
произведение.
Нека са дадени произволни
неколинеарни вектори a и b а
->
OA
и
->
OB
са техни представители с общо
начало в точката O. Завъртаме
насочената отсечка
->
OA
в
равнината OAB околото точка O в
посока обратна на движението на
часовниковата стрелка докато стане
еднопосочно колинеарна на
->
OB
.
Ако това завъртане се извършва на
ъгъл по малък от
?
то казваме че a
и b образуват дясна двойка вектори.
Ако ъгълът е поголям от
?
казваме че двойката е лява. Нека
{a,b} са произволни вектори.
Векторно произведение на a и b
наричаме вектора
bax
определен
по следния начин а) Ако a и b са
колинеарни то
bax
е нулевия
вектор. б) Ако a и b са
некулинеарни то
bax
е
перпендикулярен на a и b , тройката
вектори a,b,
bax
е дясна , а
дължината
bax
е
sinba
, където
е ъгълът между a и b. Свойства:
1)
abbax–=x
2)
)()()(bababa
???
x=x=x
3)
cbcacba x+x=x+ )(
4)
cabacba x+x=+x)(
7. Координатни системи върху права
в равнината и пространството.
Нека
?
е права, върху която е избрана
посока. Такава права наричаме ос а
избраната посока наричаме
положителна. Нека сега изберем точка
O върху оста
?
и нулев вектор
e
,
чиято посока съвпада с положителната
посока на оста. Тогава
?
наричаме
кординатна ос и означаваме OE, а
точката O наричаме кординатно
начало. Кординатна система в
равнината наричаме всяка наредена
двойка пресичащи се кординатни оси
1
Oe
,
2
Oe
с общо начало O. Тази
кординатна система означаваме
21
eOe
.
Точката O наричаме начало на
кординатната система. В общия случай
векторите
21
,ee
са некулиниарни. Ако
те са единични и взаймно ортогонални
казваме че кординатната система е
ортонормирана или Декартова.
Формулата за разстоянието между
точките A и B се изразява чрез
кординатите им :
()()
22
ABAB
yyxxABAB–+–==
->
.
Кординатна система в пространството
наричаме всяка наредена тройка
некомпланарни кординатни оси.
1
Oe
,
2
Oe
,
3
Oe
с общо начало O. Такава
система означаваме
321
еeOe
или
Oxyz
а
точката O наричаме начало на
кординатната система. Кординатната
система
321
еeOe
наричаме
ортонормирана или Декартова ако
векторите
321
,,eee
са единични и
взаймно ортогонални. Предполагаме че
векторите
321
,,eee
образуват дясна
тройка. Разтоянието между точките A
и B може да се пресметне по
формулата
()()( )
222
ABABAB
zzyyxxABAB –+–+–==
->
8. Отрезово и декартово
уравнение на права. Ъгъл между
две
прави. Условия за успоредност и
перпендикулярност.
Нека правата g не минава през
началото O (0,0) на
p
кординатната
система и пресича двете
кординатни оси в точки A(a,0) и
B(0,b). Като запишем уравнението
на g като уравнение на права през 2
точки A и B получаваме:
1=+
b
y
a
x
това уравнение се нарича отрезво
уравнение на правата g , а числата a
и b се наричат отрези на правата от
кординатните оси. Нека правата g
не е успоредна на оста Oy. Да
предположим още че g минава през
точката Mo
( )
00
,yx
и е колинеарна
на вектор p
()
µ?
,
. Следователно
този вектор също не е колинеарен
на Oy. Това означава че
0?
?
.
Тогава следва
)(
00
xxyy =–
?
µ
.
Отношението на
?
µ
не зависи от
конкретния вектор, колинеарен на
правата g, а от самата права g. Нека
),(
111
µ?
p
е друг нулев вектор
колинеарен на g. Тогава
pp
?
=
1
и
значи
???
=
1
,
µ
=
1
откъдето
1
1
?
µ
?
µ
=
. Отношението
?
µ
както
видяхме зависи от самата права g се
нарича ъглов коефициент на g, да
го означим с k. Тогава като
положим
00
kxyb –=
получаваме
bkxy +=
-декартово уравнение на
правата g. Да означим с
ъгъла
между векторите
),(
111
BAn
и
),(
222
BAn
от теоремата за ъгли с
взаимно перпендикулярни рамене
следва че
е ъгъл между правите
21
,gg
. От познатите ни формули за
синус и косинус на ъгъл между два
вектора получаваме:
21
1221
sin
nn
BABA
=
21
2121
cos
nn
BBAA+
=
- от формула
следва че
1
g
и
2
g
са
перпендикулярни тогава и само
тогава когато
0
2121
=+BBAA
. Две
прави са успоредни точно когато
съществува числото
0?
?
, такова
че
21
AA
?
=
,
21
BB
?
=
,
21
CC
?
?
9. Общо и нормално
уравнение на права. Права
през две точки.
Разстояние от точка до права.
Една права g е напълно
определена с точка
),(
000
yxM
,
лежаща върху нея и нулев
вектор n (А,B) , ортогонален на
g. Една точка M(x,y) лежи на
правата g тогава и само тогава,
когато векторът
->
NM
0
е
ортогонален на n, т.е.
скаларното им произведение е 0
или
0)()(
00
=–+yyBxxA
което
представлява уравнение на
правата g минаваща през
точката
),(
000
yxM
и
перпендикулярна на нулевия
вектор n(A,B).. Т Всяко
уравнение от вида
0=++CByAx
при условие
)0,0(),(?BA
е уравнение на
някаква права в равнината.
Обратно всяка права в
равнината има уравнение
0=++CByAx
при условие
)0,0(),(?BA
. Уравнението
0=++CByAx
за коефициентите
на което е в сила
)0,0(),(?BA
се
нарича общо уравнение на
права в равнината.Нека правата
g минава през точка
),(
000
yxM
и
е успоредна на ненулевия
вектор
),(
µ?
p
. Тогава една
точка M(x,y) лежи на правата g
точно когато векторът
),(
000
yyxxMM––
->
е колениарен
на вектора p. Това условие е
изпълнено тогава и само тогава
когато съшестува число t такова
че
tpMM=
->
0
записано с
кординатите на векторите има
вида:
?
txx=
0
,
µ
tyy =–
0
което
е равносилно на
?
?
?
?
?
+=
+=
tyy
txx
µ
?
0
0
-
уравненията се наричат
скаларни параметрични
уравнения на правата g
минаваща през точката
0
M
и
успоредна на вектора p. Нека
),(
111
yxM
и
),(
222
yxM
са две
различни точки определящи
правата g. Като вземем
1
M
и
),(
121221
yyxxMM
в ролите
съответно на
0
M
и p от
?
?
?
?
?
+=
+=
tyy
txx
µ
?
0
0
намираме
параметричните уравнения на
правата минаваща през 2 точки
1
M
и
2
M
:
?
?
?
?
?
–+=
–+=
tyyyy
txxxx
)(
)(
121
121
.
Аналогично получаваме
уравнението
( )
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy
=
, което може
да се запише във вида
0
1
1
1
22
11
=
yx
yx
yx
.
10. Уравнения на окръжност
и парабола.
Окръжност наричаме
множеството от всички точки в
една равнина равно отдалечени
от фиксирана точка
0
M
в
същата равнина. Точката
0
M
наричаме център на
окръжноста. Разстоянието от
точка на окръжноста до центъра
й се нарича радиус на
окръжноста. Нека R е радиуса
на окръжноста а
),(
0
??
M
е
центърът й. Тогава ако M(x,y) е
произволна точка от
окръжноста дефиниционното
равенство
RMM=
0
е
еквивалентно на
()( )
222
Ryx=–+–
??
- нормално
уравнение на окръжността. Т
Уравнението
()( )
222
Ryx=–+–
??
е уравнение
на окръжност тогава и само
тогава когато
04
22
>–+cba
.
Ако център на окръжноста е
началото O(0,0) на
кординатната система то
уравнението й приема вида
222
Ryx=+
-канонично
уравнение на окръжноста.
?
?
?
?
?
+=
+=
?
?
sin
cos
Ry
Rx
- параметрични
уравнения на окръжноста с
център точката
),(
0
??
M
и
радиус R. Парабола наричаме
геометрично място на точки в
равнината равно отдалечени от
дадена точка F и от дадена
права g в същата равнина.
Точката F се нарика фокус а
правата g директриса на
параболата. В кординатната
система оста Ox да съдържа
фокуса F да е перпендикулярна
на g и да е насочена от g към F;
Началото O да е среда на
отсечката от оста Ox между F и
g ; Оста Oy да минава през O и
да е перпендикулярна на Ox.
Означаваме с p разстоянието
между F и g тогава
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
2
p
F
,
2
:
p
xg –=
. Нека M (x,y) е
произволна точка от
параболата. Разстоянието от M
до g е
2
p
x+
, а от M до F
2
2
2
y
p
x+
?
?
?
?
?
?
?
?
Следователно
дефиницията на парабола е
еквивалентна на уравнението
22
2
2
p
xy
p
x+=+
?
?
?
?
?
?
?
?
. След
повдигане на квадрат и
преобразуване получаваме
pxy 2
2
=
- канонично уравнение
на парабола.
16.Полиноми.
Функция от вида
01
1
....)(axaxaxaxf
n
an
n
n
++++=
,
където
n
aaa,...,,
10
са реални
числаили комплексни числа,
наричаме полином. Правило на
Хорнер: Търсим частното q(x) и
остатъка r от деленето на горния
полином на x – a . Нека
01
2
2
1
1
...)( bxbxbxbxq
n
n
n
n
++++=
Като приложим метода на
неопределените коефициенти
към равенството на полиноми
rxqaxxf +=)()()(
получаваме
следните формули за
коефициенти на полинома q(x)
и за остатъка r :
nn
ab=
1
,
112
+=
nnn
abab
, b
110
abab +=
,
00
abar+=
. Ако
0?
n
a
то
казваме че полиномът f(x) е от
степен n. Числото 0 по
дефиниция считаме за полином
от нулева степен. Един полином
е тъждествено равен на нула
тогава и само тогава, когато
всичките му коефициенти са
нули. Два полинома са
тъждествено равни тогава и
само тогава когато са от една и
съща степен и коефициентите
пред съответните степени на x
са равни. Остатъкът от деленето
на полинома f(x) на полинома x
– a е равен на f(a).Казваме че
полиномът f(x) се дели на
полинома g(x) без остатък, ако
остатъкът r(x) е нула. Всеки
полином от степен по-голяма
или равна на едно има пине
една нула. Нека коефициентите
n
aaa,...,,
10
в уравнението
0....
01
1
=++++
axaxaxa
n
an
n
n
са
цели числа, като
0
0
?a
,
0?
n
a
,
n>1. Тогава уравнението има за
корен рационално число
q
p
,
където целите числа p и q са
взаимно прости, p дели
0
a
, а q
дели
n
a
.

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Висша математика 2

Отрезово и декартово уравнение на права. Ъгъл между две прави. Условия за успоредност и перпендикулярност. Скаларно и смесено произведение. Векторно и двойно векторно произведение. Координатни системи върху права в равнината и пространството...
Изпратен от:
vandu
на 2014-06-20
Добавен в:
Пищови
по Математика
Статистика:
30 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Геометрия за 6 клас!
добавена от stamat.petkov 15.09.2018
1
10
Деление на отсечка в дадено отношение
добавена от silvaaleksieva 02.12.2015
1
6
Подобни материали
 

Отрезово уравнение на права в равнината. Декартово уравнение на права в равнината

20 апр 2008
·
340
·
6
·
265
·
299

В тази глава се разглеждат две нови уравнения на права в равнината: отрезово и декартово.
 

Системи линейни уравнения. Метод на Крамер за решаване

26 фев 2008
·
504
·
1
·
845

Системи линейни уравнение от вида: а1x1+a2x2 ... +anxn= b решение на ЛУ, наредена п-орка числа г1г2 ...гn се нарича решение на ЛУ, ако то е удовлетворено за X1 = Г1, X2 = Г2,....Xn = Гn...
 

Системи линейни уравнения. Метод на Крамер за решаване (пищов)

26 фев 2008
·
667
·
2
·
557
·
613
·
3

Системи линейни уравнение от вида : а1x1+a2x2 ... +anxn= b решение на ЛУ, наредена п-орка числа г1г2 ...гn се нарича решение на ЛУ, ако то е удовлетворено за X1 = Г1, X2 = Г2,....Xn = Гn....
 

Матрици - видове, действия, свойства

04 юни 2007
·
2,227
·
14
·
4,144
·
986
·
6

Пищови по висша математика....................................
 

Детерминанти

31 юли 2007
·
886
·
3
·
429
·
221
·
1

Стойността на една детерминанта от втори ред е равна на разликата от произведенията на елементите съответно от главния и второстепенния диагонал...
1 2 3 4 5 » 6
 
Онлайн тестове по Математика
Тест по математика за 9-ти клас - входно ниво
входен тест по Математика за Ученици от 9 клас
Тестът съдържа 10 задачи със затворен отговор. Само един от посочените отговори е верен. Служи за изходно ниво от 8-ми и входно ниво за 9-ти клас.
(Лесен)
10
192
1
07.10.2016
Тест по математика за 7-ми клас (за края на първи срок)
междинен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тестът е подходящ за всички ученици от 7-ми клас, на които им предстои НВО. Съдържа 20 въпроси със задачи, които имат само един верен отговор.
Тестът е изготвен от:
Радка Кънчева преподавател
(Лесен)
20
30
1
8 мин
30.09.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Висша математика 2

Материал № 1109532, от 20 юни 2014
Свален: 30 пъти
Прегледан: 49 пъти
Предмет: Математика
Тип: Пищов
Брой страници: 1
Брой думи: 1,528
Брой символи: 10,479

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Висша математика 2"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Мира Александрова
преподава по Математика
в град София
с опит от  14 години
2

Мая Иванова
преподава по Математика
в град София
с опит от  5 години
13

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения