Големина на текста:
Курсова работа Свойства на простите числа
УВОД
В настоящата тема ще разгледаме някои теореми и задачи отнасящи
се до свойствата на простите числа.
В първата част ще покажем как едно свойство на простите числа, а
именно че всяко просто число може да се представи като сума на четири
цели квадрата, има главна роля в доказателството на значително по-
общото твърдението, че всяко естествено число може да се представи като
сума от квадратите на не повече от четири цели квадрата.
Във втората ще разгледаме някои елементарни резултати отнасящи
се до разпределението на простите числа. В тази част ще докажем и
прословутата теорема на Чебишев , от която следва доказателството на
постулата на Бертран-“Ако
3
>
n
то между
n
и
22
n
име поне едно просто
число”.
През цялото време ще смятаме, че читателят е запознат с основните
теореми отнасящи се до теорията на числата като теоремите на Уилсън,
Ойлер, Ферма и функцията на Мьoбиус.
Част 1
Общи задачи и теореми отнасящи се до простите числа
В тази част ще покажем някои интересни приложения на своиствата
на простите числа. Повечето от следвствията на решенията на задачите са
доста важни затова ще формулираме важните задачи като теореми.
Задача 1
Нека
p
е просто число, което при деление на 4 дава остатък 1. Да се
докаже, че съществува цяло число
x
, такова, че
1
2
+х
се дели на
p
.
Решение:
Нека
14 += np
е просто число. Съгласно теоремата на Уилсън
числото
)14...(3.2.11)!1(+=+–np
се дели на
p
. Да заменим сега в последния
израз всички множители по-големи от
n
p
2
2
1
=
, с разликите на числото
p
и числата , по малки от
2
1p
:
1)2...3.2.1(
1)1)...12(2)1().(2...3.2.1(
1)1)...(12)(2(2...3.2.11)!1(
2
2
++=
=+––+=
=++–=+
nBp
nnApn
pnpnpnp
n
Тъй като това число се дели на
p
, то и сумата
1)!2(+n
се дели на
p
. И така,
условието на задачата удовлетворява числото
23/1
!
2
1
)!2(
?
?
?
?
?
?
==
p
nx
.
Ще отбележим факта, че ако числото
x
дава остатък
1
x
при деление на
p
,
то от това, че
1)2(1)(1
2
11
22
1
2
+++=++=+ xpkxpkxkpx
се дели на
p
, следва, че и
1
2
1
+x
се дели на
р
. Затова винаги в задачата
може да се счита, че числото
x
е по малко от
р
,
1
2
+x
е по-малко от
2
р
и
частното
m
от делението не
1
2
+x
с
p
е по-малко от
р
.
Задача 2
Да се докаже, че за всяко просто число
p
може да се намерят такива числа
x
и
y
, че
1
22
++yx
да се дели на
p
.
Доказателство
Ако
2=p
то
101
22
++=p
. Нека сега простото число
p
е нечетно. Ще
покажем, че могат да се намерят две числа
x
и
y
, и двете по-малки от
2
p
,
които да удовлетворяват условието на задачата.
Да разгледаме
2
1+p
на брой от числата
2
1
,...,2,1,0
p
. Квадратите на всеки
две от тези числа ще дават различни остатъци при деление на
p
. И
наистина, ако
rpkx+=
1
2
1
и
rpkx +=
2
2
2
,
то бихме имали равенството
pkkxxxxxx )())((
212121
2
2
2
1
–=+–=
,
т.е.
))((
2121
xxxxp+
, което е невъзможно, защото
2
1
p
x<
,
2
2
p
x <
и
pxx<+
21
,
pxx<–
21
,
като незабравяме, че
p
е просто.
И така
2
1+p
на брой числа
2
222
2
1
,...,2,1,0
?
?
?
?
?
?
p
при деление на
p
дават
2
1+p
различни остатъци. Оттук следва, че и следните
2
1+p
на брой отрицателни
числа:
1
2
1
,...,12,11,1
2
22
?
?
?
?
?
?
–––––
p
дават при деление на
p
също
2
1+p
различни остатъци. (И наистина, ако
1
2
1
–– x
и
1
2
2
–– x
дават еднакви
остатъци то бихме получили, че
2
1
x
и
2
2
x
дават също еднакви остатъци, което
доказахме, че не е така.) При деление на
p
могат да се получат само
p
различни остатъци-
1,...,2,1,0 p
, тогава ясно е, че от
1+p
на брой числа
22/2
1
2
1
,...,12,11,1,
2
1
,...,2,1,0
2
22
2
222
?
?
?
?
?
?
––––
?
?
?
?
?
?
pp
поне две дават при деление
на
p
еднакви остатъци. Съгласно доказаното по горе, от такава двойка
числа едното непременно трябва да е от вида
2
x
, а другото от вида
1
2
y
.
Но ако
rkpx +=
2
и
rlpy+=––1
2
, то
11)(
22
–=––=+mpplkyx
,
т.е.
mpyx=++1
22
се дели на
p
. Ще отбележим също, че може да се
изисква също търсените числа да не надминават дори
2
p
, т.е. тяхната
сума
1
22
++yx
да бъде по-малка от
2
p
, а това означава часното от
делението на сумата
1
22
++yx
на
p
да бъде по-малко от
p
.
Чрез многократно повтаряне на доказаното в тази задача ще докажем
следната
Теорема 1.
Всяко просто число р може да се представи като сума на четири цели
квадрата.
За по-ясното доказване на теоремата ще докажем тъждеството на Ойлер, а
именно:
Тъждество на Ойлер:
Ако всяко от две числа може да се представи като сума от четири квадрата, то и
тяхното произведение може да се представи в такъв вид, или със символи:
2
23321441
2
24421331
2
34431221
2
44332211
2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
)(
)(
)(
)(
))((
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yyyyxxxx
–+–+
+–+–+
+–+–+
++++=
=++++++
Макар да съществува някаква закономерност между индексите на
x
и
y
,
настоящото тъждество е доста сложно. То обаче може да се разглежда като
следствие от тъждеството
)'''')(()'')(''(
)'')(''(
11111111
1111
abbabaabbbaabbaa
bbaabbaa
+++=
=++
Нека положим в последното тъждество следните замествания:
431431211211
43432121
',,',
,',,',
iyybiyybiyyaiyya
ixxbixxbixxaixxa
–=+=–=+=
=+=–=+=
22/3

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Свойства на простите числа

В първата част ще покажем как едно свойство на простите числа, а именно че всяко просто число може да се представи като сума на четири цели квадрата, има главна роля в доказателството на значително по-общото твърдението, че всяко естествено число може...
Изпратен от:
Николай Петров
на 2014-05-04
Добавен в:
Курсови работи
по Математика
Статистика:
0 сваляния
виж още
 
Домашни по темата на материала
Задача по математика..Спешнооо!!!
добавена от svetlana_dimitrova07 10.05.2020
0
5
Математика втора част
добавена от desittadeep 09.06.2020
1
14
казус на задача за 4-ти клас-Лице на правоъгълник
добавена от ivanka.pisarova 16.01.2020
1
14
Подобни материали
 

Диалози за математиката

29 мар 2006
·
685
·
6
·
1,797
·
183
·
1

Сократ: Отговори ми най-напред на следния въпрос: знаеш ли що е математика? Предполагам, че имаш понятие за това, което искаш да изучиш.
 

Дискретни структури. Интересни числа

29 мар 2006
·
569
·
6
·
719
·
154
·
1

Дискретни структури. Интересни числа - предистория, класификация и т.н.
 

Теорема на Питагор

24 окт 2006
·
1,262
·
10
·
686
·
1
·
7

История на теоремата на Питагор.
 

Теорема на свиването

02 ное 2006
·
211
·
6
·
341

Трансформация на Лаплас. Функция оригинал и функция образ. Образ на производна и интеграл.
 

Упражнение върху тригонометрични функции на остър ъгъл

04 юни 2007
·
485
·
3
·
104
·
545
·
1
·
2

Това са упражнения за 9 клас, свързани с тригонометричните функции на острирте ъгли. Посочени са и разяснения относно формулите, които се изпползватпри решаването на задачите.
1 2 »
 
Онлайн тестове по Математика
Математика
изпитен тест по Математика за Студенти от 2 курс
Тест за студенти - магистри, ПНУП. Всички въпроси са с един верен отговор.
(Лесен)
29
16
1
5 мин
25.09.2019
Тест по математика за 9-ти клас - входно ниво
входен тест по Математика за Ученици от 9 клас
Тестът съдържа 10 задачи със затворен отговор. Само един от посочените отговори е верен. Служи за изходно ниво от 8-ми и входно ниво за 9-ти клас.
(Лесен)
10
263
1
07.10.2016
» виж всички онлайн тестове по математика

Свойства на простите числа

Материал № 1097953, от 04 май 2014
Свален: 0 пъти
Прегледан: 67 пъти
Предмет: Математика
Тип: Курсова работа
Брой страници: 22
Брой думи: 4,921
Брой символи: 30,600
Цена: 40.00 лв. Закупи материала
Докладвай
Намери частен учител

инж. Анна Йолчева
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  12 години
157 22

Иванка Димитрова
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  36 години
40 22

виж още преподаватели...
Последно видяха материала