Големина на текста:
I . ДЕТЕРМИНАНТИ.
Свойства.Адюнг.кол-
ва.Правило на Сарус
Определение.
Стойност, която съпоставяме по
определено правило на квадратна
таблица от числа (букви,изрази), се
нарича детерминанта.
Детерминанта от n-ти ред
се нарича квадратна
таблица от числа, която се
състои от n реда и n стълба.
Броят на редовете (стълбовете) в
квадратната таблица определя реда
на детерминантата.
D=
Д етерминанта от втори ред ,
съответстваща на квадратната
матрица от втори ред:
21122211
2221
1211
22
аааа
аа
аа
А–===?
Д етерминанта от трети ред ,
съответстваща на квадратната
матрица от трети ред А
3
, и се
означава
333231
232221
131211
33
ааа
ааа
ааа
А==?
Адюнгирано количество Аik на
елемента аik oт D се определя чрез
формулата
Аij = (-1)i+k Dij
Правило на Сарус. пр еписваме
първия и втория стълб вдясно от
детерминантата и образуваме
произведенията на диагоналните
елементи и на успоредните на тях
тройки (тези произведения вземаме
със знак плюс) и произведения на
обратните диагонали (тези
произведения вземаме със знак
минус).
Правило на триъгълниците По
това правило детерминанта от трети
ред се пресмята, като се образуват
произведенията на следните тройки
елементи: от главния диагонал и от
тези, които определят триъгълници с
върхове, лежащи в различни редове
и стълбове и имащи страна,
успоредна на главния диагонал (тези
произведения вземаме със знак
плюс). По същия начин образуваме и
произведенията, които вземаме със
знак минус, работейки с втория
диагонал и триъгълниците от
указания вид, имащи страна
успоредна на този диагонал:
Св/ва на детерминатите
1.Редовете и стълбовете на
детерминантата са еквивалентни;
2.Детерминантата променя знака си
при смяна на местата на два реда
(стълба);
3.Детерминанта с нулев ред (стълб) е
равна на нула;
4.Детерминанта с два еднакви или
пропорционални реда (стълба) е
равна на нула;
5.Може да се изнася общ множител
от даден ред или стълб;
6.Ако всички елементи на един ред
умножим с едно и също число, то и
детерминантата се умножава с това
число.
7.Ако в една детерминанта всичките
елементи под (над) главния
диагонал са равни на нула, то тя е
равна на произведението от
диагоналните си елементи.
2. МАТРИЦИ - видове,
действия.Обратна матрица
I .Определение.
Правоъгълна таблица от числа,
разположени в m редa и n стълба.
II.Видове: матриците биват: правоъгълна,
квадратна, триъгълна, диагонална,
скаларна, единична, нулева и симетрична.
Матрицата се нарича правоъгълна , ако m
? n. Ако m = n то тя е квадратна .
Квадратна матрица, на която всички
елементи под (над) главния диагонал са
нули, се нарича горно (съответно долно)
триъгълна. Квадратна матрица, която е
едновременно горно и долно триъгълна,
се нарича диагонална. Ако всички
диагонални елементи на една диагонална
матрица са равни, тя се нарича скаларна.
Скаларна матрица с единици по главния
диагонал се нарича единична. Матрица,
всички елементи на която са нули, се
нарича нулева. Квадратна матрица, на
която a
ij
ji
за всяко ij се нарича
симетрична.
III.Действия с матрици:
Равенство- ако са еднотипни (т.е. имат
еднакъв брой редове и еднакъв брой
стълбове) и са равни елементите на двете
матрици, стоящи на еднакви места в тях.
Сбор- само за еднотипни матрици:
А
m x n
+ B
x n
= C
m x n
;
с
ij
=a
ij
+b
ij
за всяко i и всяко j.
Тъй като събирането на две матрици се
свежда до събиране на съответните им
елементи, то ще бъде комутативно и
асоциативно;
Свойства на сбора: А+В=В+А;
А+0=А;
А+(В+С)=(А+В)+С;
А+(-А)=0.
Умножение на матрица с число- ако
А
m x n
-матрица, а ? е число, то е
матрицата С, еднотипна с А, чиито
елементи са с
ij
=?a
ij
, i=1,2….m и j=1,2 ….n
Умножение на 2 матрици:
Произведение на матрица А с матрица B =
матрица C, която се получава от умнож.
на елементите на i-тия ред на матрицата A
със съотв. елементи на s-тия ред на
матрицата B и получените произведения
се съберат.
Свойства:
(A.B).C=A.(B.C);
A(B+C)=A.B+A.C
(A+B).C=A.С+В.C
(А.В)
Т
Т
Т
Транспортиране на матрица
Смяна на редове със стълбове.
Свойства:
Т
)
Т
=А; (A+B)
Т
=A
Т
+B
Т
;
(?A)
Т
= ?A
Т
; (A.B)
Т
=B
Т
.A
Т
.
IV.Детерминанта на матрица
Ако А е квадратна матрица,
детерминантата съставена от нейните
елементи се нарича детерминанта на
матрицата А и се бележи с det(A) или
|А|.
ОБРАТНА МАТРИЦА И РАНГ НА
МАТРИЦА
I .Определение за обратна матрица.
Ако А е квадратна матрица от тип nxm и
тя е неособена, т.е. detA?0, тогава
съществува матрица от тип nxm наричана
обратна на А и се означава с А
-1
такава
че:
А.А
-1
= А
-1
.А=I (единична матрица)
Свойства на обратната матрица:
А.А
-1
=I=А
-1
-1
)
-1
m
)
-1
=(А
-1
)
m
(A.B)
-1
-1
-1
II .Определение за ранг на матрица.
Рангът на матрица е равен на ранга на
векторите, образувани от редовете или от
стълбовете й. Рангът на една правоъгълна
матрица може да бъде най-много равен на
по-малкото от двете числа: брой на редове
и брой на стълбове. Рангът на една
матрица е равен на ранга на
еквивалентната й стъпаловидна матрица.
Намирането на ранга на дадена матрица
става като редовете и се подлагат на
елементарни преобразувания докато се
получи стъпаловидна матрица (матрица, в
която всеки неин ред първият ненулев
елемент стои по-надясно от първият
ненулев елемент на предходният ред).
Тогава рангът на изследваната матрица е
равен на броя на редовете на получената
стъпаловидна матрица Елементарни
преубразования , които не променят
ранга:
1/разместване на редове и стълбове;
2/умножение (деление) на ред(стълб) с
ненулево число;
3/премахване на нулев ред или стълб;
4/прибавяне на елемент на даден ред към
съответните елементи на друг ред,
умножени с едно и също
3.С-ми линейни
урав-я.Крамер.Метод на Гаус
Определение за с-ми лин.ур-я.
Произволен брой уравнения от
първа степен с произволен брой
неизвестни.
x
1
2
n
- неизвестни
а
ij
, където i=1?m и j=1?n са
коефициенти
b
i
, i=1?m свободни членове
m-уравнения
n-неизвестни
Матрицата от коефициентите пред
неизвестните
се нарича основна матрица на
системата.
Матрицата, съдържаща всички
коефициенти на системата, ще
означаваме с (А В):
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
....................
mxn
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
ааа
А
....
.........................
.....
......
21
22221
11211
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
mmn2m1m
2n22221
1х11211
ba....aa
................................
ba......aa
bа......аа
ВА
където за удобство сме отделили
стълба от свободни членове. Тази
матрица се нарича разширена
матрица на системата.
Решение на системата се нарича
всяко n-орка от числа, които
заместени в с-мата съответно вместо
неизвестните x?, x2, ...xn, я
удовлетворяват т.е. превръщат
нейните равенства във верни
числови равенства.
Съвместима е системата когато има
поне едно решение и несъвместима
когато няма решения. Една система
се нарича определена когато има
едно единствено решение и
неопределена когато има повече от
едно решение. Една хомогенна
система винаги е съвместима, тъй
като нейно решение е винаги
нулевото решение.
II.Теорема Кронекер Капели, Руше
Сис-ма лин.ур-я е съвместима,
когато рангът на основната матрица
и рангът на разширената матрица са
равни. При това, ако r=rang(A) и r=n,
където n-броят на неизвестните то с-
мата е определена; в противен
случай с-мата има безброй много
решения зависещи от n-r на брой
параметъра.
III.Формули на Крамер
?=det A?0
xj =?j , j- 1, 2, 3 …… n
?
IV.Метод на Гаус
Методът се състои в това, че въз
основа на елементарни
преобразувания, дадената с-ма се
свежда до друга, разширената
матрица на която е стъпаловидна.
4.ВЕКТОРИ I .Определение.
В аналитичната геометрия се използват
следните определения за вектор в
равнината и пространството. - отсечка, на
която единият край е избран за първи
(начало), а другият за втори, наричаме
насочена отсечка (свързан вектор).
Множеството от всички насочени
отсечки, равни на дадена насочена
отсечка наричаме вектор (свободен
вектор), породен от насочената отсечка
. Всяка от тези насочени отсечки
наричаме представител на
вектора . Във всяка точка всеки вектор
има точно един представител. Посока и
дължина на вектор наричаме посоката и
дължината на кой да е негов
представител. Нулев вектор - има за
представител коя да е нулева насочена
отсечка, т.е. той няма посока и има
дължина 0. За краткост, ако или
разбираме, че е даден вектор с
представител насочената отсечка , т.е.
. Колинеарни вектори –вектори
с едно и също направление -
Компланарни вектори- лежащи в една
равнина.
II.Линейни действия
А.Събиране:
=
1/по правилото на триъгълника
2/по правилото на успоредника
Б.Изваждане
Два вектора с еднакви големини и
противоположни посоки се наричат
противоположни вектори. Действието
изваждане на два вектора се свежда до
събиране на вектора с
противоположния на -
В.Умножение на вектор със скалар
(число)
а/при умножаване на вектор c
положително число ? (? > 0) се
получава вектор ? , който има същата
посока както вектора , но модулът му е
? пъти по-голям от модула на вектора
.Например векторът 3 има 3 пъти по-
голям модул от вектора и се изобразява
геометрично с 3 пъти по-дълга насочена
отсечка.
б/при умножаване на вектор с
отрицателно число ? (?<0) се получава
вектор ? насочен в противоположната
посока, чийто модул е | ? | пъти по-голям
(по-малък) от модула на вектора
Например векторът
-1/3 има три пъти
по-малка дължина от вектора и е
насочен в противоположната посока.
?. =
|| -направлението се запазва
||=||.| ? |
(?+?). = ? + ?
(?.?). =?.(?. )
?.( )= ?. + ?.
1. =
-1. =- - противоположен вектор
0. =-нулев вектор
Условие за || - да съществува
някакво число к такова, че единият вектор
=к. и при това
III.Координатната система се състои
от абсцисна ос и ординатна ос, а третата
апликатна ос. Общото начало О на
координатните оси се нарича, начало на
координатната система, а координатните
оси се означават Ох, Оу, Оz.
Координантно представяне на вектор -
в дадена координатна система разбираме
коефициентите в разлагането му по
единичните координатни вектори.
Координати на вектор са алгебричните му
проекции върху координатните оси.
Координатите на една точка или вектор
носят имената на съответните оси –
абсциса, ордината и апликата.
т.А(Х
А
,Y
A
,Z
A
)
т.О(0,0,0)
коорд.на вектор:
( Х
А
,Y
A
,Z
A
)
т.В(Х
В
,Y
B
,Z
B
)
т.С(Х
С
,Y
С
,Z
С
)
=
С
В
,Y
С
-Y
B
,Z
С
-Z
B
)
тъй като
5.СКАЛАРНО ПРОИЗВ-Е НА
ВЕКТОРИ
I .Определение.
Скаларното произведение на векторите
и се нарича произведението на
дължините им и конуса на ъгъла между
тях. Ъгълът между два вектора приема
стойности от до 180°, следователно
скаларното произведение на два вектора
може да приема и положителни, и
отрицателни стойности. Скаларното
произведение на нулевия вектор с всеки
друг вектор е равно на 0.
. = | |.| |.cos? (0<=?<=?)
II.Свойства:
а/ . = .
комутативност
б/
дистрибутивност
в/
г/условие за
. =0 <=>
(cos 90
0
= 0)
д/скаларен квадрат
. =
2
2
=| |.| |. cos 0
0
2
= | |
2
е/аналитичен израз на скаларно
произведение
(1,0,0) (0,1,0)(0,0,1)
(a
1
,b
1
,c
1
)=a
1
+ b
1
+ c
1
(a
2
,b
2
,c
2
)=a
2
+ b
2
+ c
2
Но:
. =
2
. =
2
. =
2
=> . =0
=> . =0
=> . =0
=>
. = (a
1
+ b
1
+ c
1
).
( a
2
+ b
2
+ c
2
)=
a
1
a
2
2
+a
1
b
2
+a
1
c
2
+
b
1
a
2
+ b
1
b
2
2
+ b
1
c
2
+
c
1
a
2
+ c
1
b
2
+ c
1
c
2
2
=> . = a
1
a
2+
b
1
b
2+
c
1
c
2
Дължина на вектор:
2
= . =a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
2
=| |
2
=>
Ъгъл м/у два вектора:
. = | |.| |.cos?
cos? = .
| |.| |
. = a
1
a
2+
b
1
b
2+
c
1
c
2
=>
Разстояние м/у две точки:
т.М
1
1
,y
1
,z
1
)
т.М
2
2
,y
2
,z
2
)
6.ВЕКТОРНО И СМЕСЕНО
ПРОИЗВЕД-Е
I.Векторно произведение.
Нека и са два вектора в
пространството. Тяхното векторно
произведение = х наричаме вектора
за който:
1/ =| |.| |.sin?, където ? е ъгълът м/у
тях (0<=?<=?)
2/,
3/векторите , и в този ред
образуват дясна тройка
Свойства на вект.произв-е:
х =0
x= => x = -
x = => x = -
x = => x = -
x =0
x =0
x =0
Координатно представяне:
(a
1
2
3
)=a
1
+ а
2
+ а
3
(b
1
,b
2
,b
3
)=b
1
+ b
2
+ b
3
и така
Лице на триъгълник:
Лице на успоредник:
S=| |.| |.sin?
S=| x |
II.Смесено произведение
Смесеното произведение на векторите ,
и се нарича числото, което се
получава от скаларното произведение на
вектора х с .
Свойства на смес.произв-е:
Стойността на смесеното произведение
е нула т.с.т.к. векторите , и са
компланарни (линейно зависими).
Или =0, тстк
РАВНИНА-ОБЩО УР-Е,
РАВНИНА ПРЕЗ 3 ТОЧКИ,
ОТРЕЗОВО И НОРМАЛНО
УРАВНЕНИЕ
I.Извеждане на общо уравнение на
равнина:
а/Уравнение на равнина през точка и
на вектор ()
Нека:
?: М
0
0
,y
0
,z
0
) ?;
(А,В,С) ?
Ако т.М е произволна точка от
равнината ? с координати М(x, y ,z),
то векторът е на вектора .
(х- х
0
, y- y
0
, z- z
0
) =>
. =0 ?
б/ уравнение на равнина през точка и
|| на 2 вектора ( )
Нека:
?: М
0
0
,y
0
,z
0
) ?;
1
2
3
) || ?
(b
1
,b
2
,b
3
) || ?
От || ? и || ?, то х ?
=> = х => х
=>
=> координатно уравнение за ?:
в/уравнение на равнина през три
точки
т.М
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
т.M
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
т.M
3
(x
3
,y
3
,z
3
)
Тези три точки определят една
единствена равнина ?. Ако положим
то координатното уравнение на ? е:
=> 3-те точки са винаги
компланарни.
II.Общо уравнение на равнина
От уравнението:
получаваме:
Ах+Вy+Cz-Ax
0
-By
0
-Cz
0
=0
и като положим
получаваме:
което се нарича общо уравнение на
равнина в пространството. Поне
едно от А, В и С трябва да е
различно от 0.
•Равнина в частно полож-е:
а/ Ако А=0, то ? || Ох
Ако В=0, то ? || Оу
Ако С=0, то ? || Оz
б/ Ако А= В=0, то ? || Оху
Ако В= С=0, то ? || Оуz
Ако С= А=0, то ? || Оxz
в/ Ако D=0, то т.О(0,0,0) ?

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.
Последно свалили материала:
ДАТА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ПОТРЕБИТЕЛЯ
26 май 2017 в 19:11 ученик на 24 години от Аксаково - ОУ "Ради Патронски", с. Водица
20 май 2017 в 07:21 потребител на 20 години
14 май 2017 в 16:12 студент на 19 години от Варна - Технически университет, факулетет - Електротехнически факултет, специалност - КСТ, випуск 2019
13 мар 2017 в 23:04 студент на 38 години от Габрово - Технически университет, факулетет - МУ, специалност - ИИ, випуск 2012
24 фев 2017 в 16:28 студент на 28 години от Пловдив - kia, факулетет - 00000, специалност - Маркетинг, випуск 2020
12 фев 2017 в 21:14 в момента не учи на 31 години
07 фев 2017 в 10:31 ученик на 23 години от Сливен - Пето СОУ, випуск 2015
02 фев 2017 в 13:56 родител
 
Домашни по темата на материала
Задача по Физика за 9 клас
добавена от gabi980 15.06.2014
0
9
Уравнения на права в пространството
добавена от mihaela.vodenicharska 16.12.2012
0
27
!!! помощ математиика 9 клас помощ!
добавена от cleoparta 09.03.2016
1
3
Висша математика втора част.
добавена от petynka9677 03.06.2015
1
10
Подобни материали
 

Уравнение на окръжност

17 юни 2008
·
179
·
6
·
463
·
180
·
42

Окръжността е геометрично място на точки в равнината, които отстоят на разстояние R от дадена точка C, която е от същата равнина. Числото R се нарича радиус на окръжността, а точка C – неин център.
 

Координантни системи и графики на функции

31 юли 2007
·
334
·
10
·
431
·
153
·
19

Правоъгълна координатна система се състои от две перпендикулярни прави, наречени координатни оси, които се поставят така, че се пресичат в началата си.
 

Математика

05 дек 2009
·
251
·
9
·
1,724
·
235
·
27

Математикар нижна на студенти и ученици...
 

Отрезово уравнение на права в равнината. Декартово уравнение на права в равнината

20 апр 2008
·
339
·
6
·
265
·
49

В тази глава се разглеждат две нови уравнения на права в равнината: отрезово и декартово.
 

Детерминанти

23 фев 2008
·
528
·
17
·
590
·
283
·
21

Що е индекс? Нека е дадено едно наредено множество от елементи, например от 8 числа: -9; 21; 8; 17; 145; -76; 91; 7165. Всяко от тях има пореден номер в тази редица, който представлява и индекса на елемента...
 
Онлайн тестове по Математика
Тест по математика за 7-ми клас върху раздел "Уравнения"
тематичен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тестът съдържа 10 въпроса. Всеки въпрос e с по един верен отговор. Предназначен е за ученици от 7-ми клас и се фокусира върху раздел "Уравнения".
(Лесен)
10
39
1
1 мин
11.10.2016
Формули за съкратено умножение
тематичен тест по Математика за Ученици от 7 клас
Тест по математика за седмокласници, целящ определяне нивото на усвояване на материала от формули за съкратено умножение. Всеки въпрос има само един верен отговор.
Тестът е изготвен от:
Силвия Табакова преподавател
(Труден)
12
102
1
10.11.2015
» виж всички онлайн тестове по математика

Пищови по висша математика І част 2011 година

Материал № 784265, от 04 яну 2012
Свален: 944 пъти
Прегледан: 1,337 пъти
Предмет: Математика
Тип: Пищов
Брой страници: 6
Брой думи: 2,483
Брой символи: 13,476

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Пищови по висша математика І част 2011 година"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Ирина Стойкова
преподава по Математика
в град Варна
с опит от  21 години
11 2,110 233

Мартина Крайчева
преподава по Математика
в град Русе
с опит от  5 години
547 58

виж още преподаватели...
Последно видяха материала
Сродни търсения