Големина на текста:
Изпитен вариант ВМ3 - поправителна сесия
1. а) Да се реши диференциалното уравнение: y?? - 4.y? + 3.y = x:e
3.x
;
б) Да се намери проекцията и симетричната точка на т. А (2;1;3) относно
правата минаваща през точките т. М (2;-3;-1) и т. N (3;0;1).
Решение:
а) 1 вариант => когато е деление, т.е. x:e
3.x
=> y?? - 4.y? + 3.y = x:e
3.x
.
r
2
- 4.r + 3 = 0, D = 4, r
1
= 3 и r
2
= 1 => z = c
1
.e
3.x
+ c
2
.e
x
;
x
e
x
cycy
cycy
.3
/
2
/
2
/
1
/
1
/
22
/
11
..
0..
=+
=+
, y
1
=
e
3.x
=>
/
1
y
= 3.e
3.x
; y
2
= e
x
=>
/
2
y
= e
x
;
x
xx
xx
e
x
cece
cece
.3
/
2
/
1
.3
/
2
/
1
.3
...3
0..
=+
=+
=
x
xx
xx
e
x
cece
cece
.3
/
2
/
1
.3
/
2
/
1
.3
...3
0..
=+
=––
=>
/
1
c
=
x
e
x
.6
.2
;
/
2
c
=
x
e
x
.4
.2
;
c
1
(x) =
?
dx
e
x
x
.
.2
.6
=
3
.6.6
.72
1
.12
c
ee
x
xx
+––
;
c
2
(x) =
?
dx
e
x
x
.
.2
.4
=
4
.4.4
.32
1
.8
c
ee
x
xx
++
;
=> y = c
1
.y
1
+ c
2
.y
2
= - (
xx
ee
x
.6.6
.72
1
.12
+
).e
3.x
+ (
xx
ee
x
.4.4
.32
1
.8
+
).e
x
+ (c
3
.e
3.x
+ c
4
.e
x
).
частно решение общо решение на хомогенното
2 вариант => когато е произведение, т.е. x.e
3.x
=> y?? - 4.y? + 3.y = x.e
3.x
.
r
2
- 4.r + 3 = 0, D = 4, r
1
= 3 и r
2
= 1 => z = c
1
.e
3.x
+ c
2
.e
x
;
y
1
= x.e
3.x
(? = 3 и n = 1) => y
1
= (A.x + B).x.e
3.x
= (A.x
2
+ B.x).e
3.x
,
y
1
? = (3.A.x
2
+ 2.A.x + 3.B.x + B).e
3.x
, y
1
?? = (9.A.x
2
+ 12.A.x + 9.B.x + 2.A +
+ 6.B).e
3.x
=> y?? - 4.y? + 3.y = (9.A.x
2
+ 12.A.x + 9.B.x + 2.A + 6.B).e
3.x
- 4.
(3.A.x
2
+ 2.A.x + 3.B.x + B).e
3.x
+ 3.(A.x
2
+ B.x).e
3.x
= x.e
3.x
=
=> 4.A.x + 2.A + 2.B = x =>
0.2.2
1.4
=+
=
BA
A
=> A = 1/4 и B = - 1/4;
=> 1/4.(x
2
- x).e
3.x
=> y = z + y
1
= c
1
.e
3.x
+ c
2
.e
x
+ 1/4.(x
2
- x).e
3.x
.
б) Съставяме каноничното уравнение на MN:
23
2
x
=
30
3
+
+y
=
11
1
+
+z
= t =>
1
2x
=
3
3+y
=
2
1+z
= t => x = t + 2, y = 3.t - 3, z =
2.t - 1 и т.А (2;1;3) и вектора n (1,3,2) => от системата: x = t + 2, y = 3.t - 3, z
= 2.t - 1, 1.(x-2) + 3.(y-1) + 2.(z-3) = 0 => x + 3.y + 2.z - 11 = 0;
=> 1.(t + 2) + 3.(3.t - 3) + 2.(2.t - 1) - 11 = 0 => 14.t = 20 => t = 10/7;
=> x = 10/7 + 2 = 24/7, y = 3.10/7 - 3 = 9/7, z = 2.10/7 - 1 = 13/7;
=> проекцията т.B (24/7;9/7;13/7);
б) т.B е среда на AC => x
C
= 2.x
B
- x
A
= 2.24/7 - 2 = 34/7, y
C
= 2.y
B
- y
A
= 2.9/7
- 1 = 11/7, z
C
= 2.z
B
- z
A
= 2.13/7 - 3 = 5/7 => т.C(34/7;11/7;5/7).
2. Да се реши интеграла:
??
––
D
dydxyx..25
22
, D = {x
2
+ y
2
<= 1, x >= 0, y >= 0}.
Решение: Това е окръжност с радиус 1, която е само в 1 квадрант.
=> Полярна смяна => x = ?.cos(?), y = ?.sin(?), ? = ?, ? є [0,1], ? є [0,?/2];
=>
????
?
dd.)..25(
2/
0
1
0
2
? ?
=
? ?
–––
2/
0
1
0
22
)25(.25.
2
1
.(
?
???
dd
=
=
? ?
–––
2/
0
1
0
22/12
)25(.)25(.
2
1
.(
?
???
dd
=
)
0
1
)2/3.(2
)25(
.(
0
2/
2/32
?
?
?
=
=
)
3
25
3
24
.(
2
2/32/3
+–
?
=
=
)6.48125.(
6
?
? 3,89.
3. Да се реши интеграла:
?
+++–+–
)(
)..2()..5.2().(
l
dzzyxdyzydxyx
, където (l) е
отсечката с налачна точка А (1;2;-1) и крайна точка B (2;1;4).
Решение: Съставяме каноничното уравнение на AB:
12
1
x
=
21
2
y
=
14
1
+
+z
= t =>
1
1x
=
1
2
y
=
5
1+z
= t => x = t + 1, y = - t + 2, z =
5.t - 1, 0 <= t <= 1 => x? = 1, y? = - 1, z? = 5;
?
+++–+–
)(
)..2()..5.2().(
l
dzzyxdyzydxyx
=
=
?
–++–+++–
––+–++–+
1
0
.5)].1.5()2.(21[).1(
)].1.5.(5)2.(2[.1)].2(1[
dttttdt
ttdttt
=
=
?
++–+–
1
0
).20.20().9.27().1.2(dttdttdtt
=
=
?
+
1
0
).10.49( dtt
=
0
1
).10
2
.49
(
2
t
t
+
=
= 49/2 + 10 = 69/2 = 34,5.
4. От 50 изделия 45 са качествени. Избират се 4 изделия произволно. Да се
определи вероятността между тях: а) да няма дефектни; б) да има две
дефектни; в) да има поне едно дефектно.
Решение:
a)
%7,64
6580
4257
47.48.49.50
42.43.44.45
!46!.4
!50
!5!.0
!5
.
!41!.4
!45
)(
)).((.
50
4
5
0
45
4
4
50
0
5
4
45
==
====
C
CC
p
;
б)
%18,0
18424
33
47.48.49.50
2.5.22.45
!46!.4
!50
!3!.2
!5
.
!43!.2
!45
)(
)).((.
50
4
5
2
45
2
4
50
2
5
2
45
==
====
C
CC
p
;

Това е само предварителен преглед

За да разгледате всички страници от този документ натиснете тук.

Решени задачи по ВМ3

Решени задачи за подготовка на изпит по висша математика 3 част за технически университет Варна...
Изпратен от:
Стефан Узунов
на 2013-09-03
Добавен в:
Упражнения
по Математически анализ
Статистика:
67 сваляния
виж още
Изтегли
 
Домашни по темата на материала
Задачи по Математически анализ
добавена от mimsolina93
0
2
 

Решени задачи по ВМ3

Материал № 1018896, от 03 сеп 2013
Свален: 67 пъти
Прегледан: 102 пъти
Предмет: Математически анализ, Математика
Тип: Упражнение
Брой страници: 4
Брой думи: 299
Брой символи: 1,987

Потърси помощ за своята домашна:

Имаш домашна за "Решени задачи по ВМ3"?
Намери бързо решение, с помощтта на потребители на Pomagalo.com:

Намери частен учител

Павлина Йорданова
преподава по Математически анализ
в град Варна
с опит от  5 години
173 9

Любомир Янакиев
преподава по Математически анализ
в град София
с опит от  40 години
1 146 9

виж още преподаватели...
Последно видяха материала